Omeomorfismo tra spazio quoziente ed $RR^2$

[Epimenide93]

Vi chiedo un aiuto per scrivere formalmente la soluzione al seguente problema di topologia:

Sia \(\displaystyle A = \{ (x \,,\ y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0 \,, \ 0 \leq y \leq x \} \)

e sia \(\displaystyle \mathcal{R}\) la relazione di equivalenza definita su \( A \) da:

\[
\displaystyle
(x_0 \,, y_0) \mathcal{R} (x_1 \,, y_1) \iff \begin{cases} (x_0 \,, y_0) = (x_1 \,, y_1) \\ d_{\mathbb{R}^2} ((x_0 \,, y_0) \,, \ (0 \,, 0)) = d_{\mathbb{R}^2} ((x_1 \,, y_1) \,, \ (0 \,, 0)), & (x_0 \,, y_0), (x_1 \,, y_1) \in \partial A \end{cases}
\]

Dimostrare che \(\displaystyle A / \mathcal{R} \) è omeomorfo ad \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \).

Dimostrazione per gesticolazione vigorosa:[nota]cit.[/nota]
\(\displaystyle A / \mathcal{R} \) è omeomorfo (per "incollamento") alla parte positiva di un cono \(\displaystyle \mathfrak{C} \subseteq \mathbb{R}^3 \) (ad esempio \(\displaystyle z = \sqrt{x^2 + y^2} \) ), il quale è a sua volta omeomorfo ad \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Mentre il secondo omeomorfismo si ottiene facilmente (proiezione canonica sul piano \(\displaystyle z = 0 \) ), non riesco a trovare esplicitamente il primo omeomorfismo, né a sfruttare qualche teorema che mi permetta di dimostrarlo senza trovarlo esplicitamente. Avevo pensato a mandare il segmento per \(\displaystyle (\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2) \ {\rm e} \ (1,0) \) nella circonferenza di \(\displaystyle \mathfrak{C} \) di raggio unitario, ma mi son perso nei calcoli e non sono sicuro che ciò basti per ritrovarmi automaticamente assegnati tutti gli altri segmenti ad esso paralleli alle circonferenze del cono restanti.

Qualsiasi aiuto è gradito.

Saluti!

[killing_buddha]

L'idea e' fare il disegno bene:



Quando hai fatto questo, e' sufficiente scrivere in coordinate facili l'omeomorfismo ovvio (per esempio quelle polari): la circonferenza di altezza $r$ sul cono va sull'arco di raggio $r$ nel piano. Iniettiva? Si'. Suriettiva? Si'. Bicontinua? Si' (leggermente piu' involuto). Fine.

[Epimenide93]

Intanto grazie mille! Non avevo proprio pensato ad usare gli archi di circonferenza.

Se ho capito bene il procedimento che suggerisci, chiamo \(\displaystyle \varphi : A \rightarrow \mathfrak{C} \) l'applicazione:

\(\displaystyle \varphi (\varrho \,, \ \vartheta ) = (\varrho \cos{(8 \vartheta)} \,, \ \varrho \sin{(8 \vartheta)} \,, \ \varrho ) \)

la quale risulta essere ben definita, essere continua (lo è per componenti) e passare al quoziente rispetto ad \(\displaystyle \mathcal{R} \) (verifica immediata); chiamo \(\displaystyle \tilde\varphi \) l'applicazione indotta. Questa risulta essere iniettiva, suriettiva (verifiche immediate) e continua (composizione di funzioni continue). La sua inversa è \(\displaystyle \tilde\varphi^{-1} (x \,, \ y \,, \ z) = \left[ z \,, \ \frac{1}{8} \arcsin \left( \frac{x}{z} \right) \right] \) che è a sua volta continua. Quindi \(\displaystyle \tilde\varphi \) è l'omeomorfismo cercato.

È corretto?

Grazie ancora!!!