Omeomorfismo tra $RR/ZZ$ e $S^1$
Il proff mi ha lasciato il seguente esercizio verificare che $RR/ZZ$ e $S^1$ sono omeomorfi.
Allora prima considero l'applicazione tra $RR$ e $S^1$ data dal $p(t)=e^(2piit)$ questa e sia continua che suriettiva.
Poi considero la proiezione $pi$ tra $RR$ e $RR/ZZ$ che manda $x$ nella sua classe $[x]$.
ora se considero la mappa $f=p pi^-1$ da $RR/ZZ$ in $S^1$ allora posso affermare che $f$ è un omeomorfismo perchè:
f continua dato che è composizione di funzioni continue
f suriettiva per costruzione
f iniettiva per costuzione
DOMANDE:
1)Il Quoziente $RR/ZZ$ se non sbaglio ha come rappresentanti $[x]in$[ [0],[1]) e gli aperti sono tutti del tipo ([x],[y]) ?
2) il fatto che f sia iniettiva e suriettiva dipende da altre ragioni inpendentemente dalla costruzione della mappa?
Grazie a presto
Allora prima considero l'applicazione tra $RR$ e $S^1$ data dal $p(t)=e^(2piit)$ questa e sia continua che suriettiva.
Poi considero la proiezione $pi$ tra $RR$ e $RR/ZZ$ che manda $x$ nella sua classe $[x]$.
ora se considero la mappa $f=p pi^-1$ da $RR/ZZ$ in $S^1$ allora posso affermare che $f$ è un omeomorfismo perchè:
f continua dato che è composizione di funzioni continue
f suriettiva per costruzione
f iniettiva per costuzione
DOMANDE:
1)Il Quoziente $RR/ZZ$ se non sbaglio ha come rappresentanti $[x]in$[ [0],[1]) e gli aperti sono tutti del tipo ([x],[y]) ?
2) il fatto che f sia iniettiva e suriettiva dipende da altre ragioni inpendentemente dalla costruzione della mappa?
Grazie a presto
Risposte
Non capisco cosa intendi... La mappa è suriettiva e iniettiva perché è un omeomorfismo...
Scusa ma per essere un omeomorfismo devo dimostrare che è continua e biunivoca. In fatto che sia sia iniettiva che suriettiva dipende da come ho costruito la mappa. GIusto?
"squalllionheart":
Scusa ma per essere un omeomorfismo devo dimostrare che è continua e biunivoca. In fatto che sia sia iniettiva che suriettiva dipende da come ho costruito la mappa. GIusto?
si e no... Se $sigma: RR//ZZ \to RR//ZZ$, $rho:RR\to RR$ e $tau:S^1\to S^1$ sono omeomorfismi, $E:RR//ZZ \to S^1$ è la mappa esponenziale e $\pi$ è la proiezione canonica di $RR$ nel quoziente $RR//ZZ$ allora qualsiasi funzione $f=tau E sigma pi rho$ è una funzione suriettiva e $f'=tau E sigma$ è un omeomorfismo tra $RR//ZZ$ e $S^1$. Tu hai dimostrato che E è iniettivo e suriettivo, uno volta dimostrato quello ogni altra $f$ lo è.
c'è qualcosa che non mi torna.... Nel mio caso ho solo $f=Epi^-1$.
$E$ e $pi$ sono suriettive ma chi mi assicura che $f$ lo sia, a meno che non funzioni come nei gruppi e negli anelli, in questo caso sarebbe tutto al sicuro...
$E$ e $pi$ sono suriettive ma chi mi assicura che $f$ lo sia, a meno che non funzioni come nei gruppi e negli anelli, in questo caso sarebbe tutto al sicuro...
$RR$ è un gruppo e $ZZ$ è un suo sottogruppo normale. $S^1$ è un gruppo (come sottogruppo di $CC$ con la moltiplicazione) e se guardi bene la mappa esponenziale è un omomorfismo di gruppi...
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