Omeomorfismo tra intervalli e funzione da $\mathbb{P}^2(RR)$ a $RR$
1)Siano $X=[0,1]uu[2,3)$ e $Y=[0,1]uu(2,3)$, entrambi muniti della topologia euclidea. E' vero che $X$ e $Y$ sono omeomorfi?
2)Sia $X=\mathbb{P}^2(RR)$ il piano proiettivo reale munito della topologia quoziente rispetto alla topologia euclidea di $RR^3\\{(0,0,0)}$. Sia $f:X->RR$ una funzione definita da $f($ $[x_0,x_1,x_2])=x_0^2+x_1x_2$ dove $[x_0,x_1,x_2]$ è la classe di equivalenza di un punto di $RR^3\\{(0,0,0)}$. E' vero che $f$ è ben definita e continua?
1)E' falso: se esistesse $f$ omeomorfismo tra $[0,1]uu[2,3)$ e $[0,1]uu(2,3)$ allora preso $p=2$ si ha che $f$ induce un omeomorfismo tra $([0,1]uu[2,3))\\2=[0,1]uu(2,3)$ e $([0,1]uu(2,3))\\f(2)$, ma $[0,1]uu(2,3)$ ha 2 componenti connesse per archi, mentre $([0,1]uu(2,3))\\f(2)$ ha 3 componenti connesse per archi (se $f(2)in[0,1]$ le componenti connesse per archi sono: $[0,f(2)),(f(2),1],(2,3)$. Se $f(2)in(2,3)$ allora le componenti connesse per archi sono: $[0,1],(2,f(2)),(f(2),3)$), perciò $f$ non può essere omeomorfismo.
2)E' falso: la funzione è ben definita poichè $x_0,x_1,x_2inRR$ per cui $x_0^2+x_1x_2inRR$ (poichè la somma e il prodotto sono operazioni interne a $RR$) ma $f$ non è continua. Notiamo intanto che $f$ è suriettiva, infatti preso $x inRR$ si ha che $f($$[0,x,1])=x$. Ma allora se $f$ fosse continua, poichè $\mathbb{P}^2(RR)$ è compatto allora anche $RR$ dovrebbe essere compatto, assurdo.
Può andare bene?
2)Sia $X=\mathbb{P}^2(RR)$ il piano proiettivo reale munito della topologia quoziente rispetto alla topologia euclidea di $RR^3\\{(0,0,0)}$. Sia $f:X->RR$ una funzione definita da $f($ $[x_0,x_1,x_2])=x_0^2+x_1x_2$ dove $[x_0,x_1,x_2]$ è la classe di equivalenza di un punto di $RR^3\\{(0,0,0)}$. E' vero che $f$ è ben definita e continua?
1)E' falso: se esistesse $f$ omeomorfismo tra $[0,1]uu[2,3)$ e $[0,1]uu(2,3)$ allora preso $p=2$ si ha che $f$ induce un omeomorfismo tra $([0,1]uu[2,3))\\2=[0,1]uu(2,3)$ e $([0,1]uu(2,3))\\f(2)$, ma $[0,1]uu(2,3)$ ha 2 componenti connesse per archi, mentre $([0,1]uu(2,3))\\f(2)$ ha 3 componenti connesse per archi (se $f(2)in[0,1]$ le componenti connesse per archi sono: $[0,f(2)),(f(2),1],(2,3)$. Se $f(2)in(2,3)$ allora le componenti connesse per archi sono: $[0,1],(2,f(2)),(f(2),3)$), perciò $f$ non può essere omeomorfismo.
2)E' falso: la funzione è ben definita poichè $x_0,x_1,x_2inRR$ per cui $x_0^2+x_1x_2inRR$ (poichè la somma e il prodotto sono operazioni interne a $RR$) ma $f$ non è continua. Notiamo intanto che $f$ è suriettiva, infatti preso $x inRR$ si ha che $f($$[0,x,1])=x$. Ma allora se $f$ fosse continua, poichè $\mathbb{P}^2(RR)$ è compatto allora anche $RR$ dovrebbe essere compatto, assurdo.
Può andare bene?
Risposte
Beh, ma per mostrare che $f$ è ben definita non devi mostrare che assume valori in $RR$ (questo è ovvio), bensì che è una funzione...
"megas_archon":
Beh, ma per mostrare che $f$ è ben definita non devi mostrare che assume valori in $RR$ (questo è ovvio), bensì che è una funzione...
Vabbe che sia una funzione secondo la definizione di funzione devo far in modo che ogni elemento di $\mathbb{P}^2(RR)$ sia associato a un solo elemento di $RR$, ma $x_0^2+x_1x_2$ è un solo elemento una volta fissati $ x_0,x_1,x_2inRR$. Comunque il resto va bene?
È quello che devi verificare, ma è proprio quello che f non sta facendo, non te ne accorgi? Qual è l'immagine di un altro rappresentante nella classe di equivalenza di un punto nel proiettivo?
"megas_archon":
È quello che devi verificare, ma è proprio quello che f non sta facendo, non te ne accorgi? Qual è l'immagine di un altro rappresentante nella classe di equivalenza di un punto nel proiettivo?
Ah non è costante sulle classi di equivalenza (tipo $f($ $[1,1,1])=2$ e $f($ $[2,2,2])=8$ ma $[1,1,1]=[2,2,2]$ in $\mathbb{P}^2(RR)$). Il punto 1) va bene invece?
Si il punto 1) va bene.
"otta96":
Si il punto 1) va bene.
Grazie
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