Omeomorfismo tra due spazi
Mi chiedevo se il disco chiuso $D={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2<=1}$ e l'intervallo $I=[0,1]$ fossero omeomorfi. L'istinto mi dice che non lo sono, anche se non riesco a trovare una spiegazione logica per dimostrarlo (ammesso che sia così!). Se considero le proprietà topologiche come compattezza o connessione sono proprie di entrambi gli spazi perciò non concludo nulla, forse devo ragionare sull'impossibilità di trovare un omeomorfismo perché il disco si trova in uno spazio a due dimensioni mentre l'intervallo in uno spazio a una sola dimensione? Grazie per l'aiuto
Risposte
Puoi procedere per contraddizione, supponendo che esista un omeomorfismo $\phi:I \to \bar{D}$. Osserva che se togli un punto $x_0$, ottieni ancora un omeomorfismo: $\phi: I \setminus \{x_0\} \to \bar D \setminus \{\phi(x_0)\}$.
Quale proprietà viene a mancare per l'intervallo che però rimane per il disco?
Quale proprietà viene a mancare per l'intervallo che però rimane per il disco?
La connessione per archi? Idea interessante, grazie mille! 
Si può fare un ragionamento sulle "dimensioni" dello spazio secondo te oppure è una strada sbagliata?
Si può fare un ragionamento sulle "dimensioni" dello spazio secondo te oppure è una strada sbagliata?
Esattamente!
L'idea della dimensione intuitivamente è giusta, ma va formalizzata. In generale sai che se $\phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ è un omeomorfismo, allora hai che $n = m$. Questo si estende allora agli aperti e, di conseguenza, alle varietà topologiche.
In ogni caso, l'argomento della connessione si può utilizzare anche per dimostrare quanto appena detto, quindi in un certo senso sono argomenti correlati. Però per generalizzare a dimensioni maggiori di $1$ non basta la connessione, ma serve la $m$-connessione e, quindi, in ultima analisi, devi andare a vedere i gruppi di omotopia.
In sostanza, l'idea intuitiva è giusta, ma per generalizzarla servono concetti un po' più avanzati.
L'idea della dimensione intuitivamente è giusta, ma va formalizzata. In generale sai che se $\phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ è un omeomorfismo, allora hai che $n = m$. Questo si estende allora agli aperti e, di conseguenza, alle varietà topologiche.
In ogni caso, l'argomento della connessione si può utilizzare anche per dimostrare quanto appena detto, quindi in un certo senso sono argomenti correlati. Però per generalizzare a dimensioni maggiori di $1$ non basta la connessione, ma serve la $m$-connessione e, quindi, in ultima analisi, devi andare a vedere i gruppi di omotopia.
In sostanza, l'idea intuitiva è giusta, ma per generalizzarla servono concetti un po' più avanzati.
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