Omeomorfismo tra disco senza bordo e sfera (topologia)
L'esercizio è:
Consideriamo il disco unitario $D^2=( (x,y) | x^2 +y^2 <=1 )$ e introduciamo la seguente relazione di equivalenza, due punti sono equivalenti se appartengono al bordo del disco, ovvero tutti i P=(x,y) tali che $x^2+y^2=1$ sono equivalenti.
Se consideriamo lo spazio quoziente, questo è isomorfo alla sfera in $RR^3$ ovvero $S^2=( (x,y,z) | x^2+y^2+z^2=1 )$
A livello intuitivo torna certamente tutto, la difficoltà sta nello scrivere l'applicazione $ F : D^2 -> S^2 $ tale che sia continua e sia costante sulle classi di equivalenza.
Anche qui l'idea è che per identificare un punto nel disco mi son sufficienti due coordinate $(r, alpha )$ dove come ben si intende $r$ è la distanza dall'origine e $alpha$ è l'angolo con l'asse delle $x$ (banalmente sono le coordinate polari)
Anche per la sfera mi bastano due coordinate la latitudine e la longitudine (coordinate sferiche).
Ora verrebbe spontaneo mandare $alpha$ nella latitudine (o longitudine è equivalente) e poi?
Non credo sia la strada giusta.
Spero che qualcuno possa aiutarmi e che non si spazientisca alla domanda: e se aumento il numero delle dimensioni?Resta vero (la risposta dovrebbe esser si ma non riesco a dimostrarlo per $n=2$, figuriamoci se saliamo...)
Consideriamo il disco unitario $D^2=( (x,y) | x^2 +y^2 <=1 )$ e introduciamo la seguente relazione di equivalenza, due punti sono equivalenti se appartengono al bordo del disco, ovvero tutti i P=(x,y) tali che $x^2+y^2=1$ sono equivalenti.
Se consideriamo lo spazio quoziente, questo è isomorfo alla sfera in $RR^3$ ovvero $S^2=( (x,y,z) | x^2+y^2+z^2=1 )$
A livello intuitivo torna certamente tutto, la difficoltà sta nello scrivere l'applicazione $ F : D^2 -> S^2 $ tale che sia continua e sia costante sulle classi di equivalenza.
Anche qui l'idea è che per identificare un punto nel disco mi son sufficienti due coordinate $(r, alpha )$ dove come ben si intende $r$ è la distanza dall'origine e $alpha$ è l'angolo con l'asse delle $x$ (banalmente sono le coordinate polari)
Anche per la sfera mi bastano due coordinate la latitudine e la longitudine (coordinate sferiche).
Ora verrebbe spontaneo mandare $alpha$ nella latitudine (o longitudine è equivalente) e poi?
Non credo sia la strada giusta.
Spero che qualcuno possa aiutarmi e che non si spazientisca alla domanda: e se aumento il numero delle dimensioni?Resta vero (la risposta dovrebbe esser si ma non riesco a dimostrarlo per $n=2$, figuriamoci se saliamo...)
Risposte
Ieri avevo visto questo post, ma non ho avuto tempo di risponderti...
La prima cosa che mi è venuta in mente (ed, essendo la prima, potrebbe benissimo essere una fesseria) è quella di provare, nel caso $n=2$, a trovare un omeomorfismo da $S^2$ in $RR^2 cup \{\infty\}$ (il piano più un punto all'infinito) mediante la proiezione stereografica e poi passare al disco $D^2$ mandando il piano nel disco aperto e il punto all'infinito nel bordo del disco.
Naturalmente ci sono molte cose da fare: scrivere esplicitamente questa funzione e verificare che si tratta in effetti di un omeomorfismo.
Che ne dici? Puoi provare e, se ti va, facci sapere.
La prima cosa che mi è venuta in mente (ed, essendo la prima, potrebbe benissimo essere una fesseria) è quella di provare, nel caso $n=2$, a trovare un omeomorfismo da $S^2$ in $RR^2 cup \{\infty\}$ (il piano più un punto all'infinito) mediante la proiezione stereografica e poi passare al disco $D^2$ mandando il piano nel disco aperto e il punto all'infinito nel bordo del disco.
Naturalmente ci sono molte cose da fare: scrivere esplicitamente questa funzione e verificare che si tratta in effetti di un omeomorfismo.
Che ne dici? Puoi provare e, se ti va, facci sapere.
Ferma restando l'idea di cirasa che l'è dimolto bellina (come dite a Pisa), c'è una possibile soluzione a pag. 76 del Sernesi Geometria 2.
Per completezza espongo la mia soluzione
Tutto inizia dal: caliamo di dimensione e vediamo cosa succede.
Se considero il segmento $[0,1]$ in $RR$ (nota bene, questi altro non è che il disco in $RR$) e identifico $0$ e $1$ ottengo praticamente una circonferenza. Come? Mi basta considerare l'esponenziale complesso questa è una funzione di periodo [tex]$2 \pi$[/tex] quindi è lecito pensare che [tex]$F (x)=exp( x *2 \pi i)$[/tex] funzioni. Non è difficile da dimostrare.
NB: l'esponenziale complesso va nel piano complesso non in $RR^2$ ma chiaramente questi due sono omeomorfi, per non appesantire la notazione ho usato l'esponenziale, ma chiaramente per esser formali andava usato [tex]$F(x)=( \sin(2 \pi x), \cos(2 \pi x))$[/tex]
Bene a questo punto facciamo alcune considerazioni sul disco in $RR^2$
Per determinare un punto nel disco ho bisogno di due coordinate, le polari mi fanno comodo, ovvero ho bisogno dell'angolo e del raggio.
L'angolo [tex]$ \alpha \in [0,2 \pi ] $[/tex] mentre il raggio sarà [tex]$ r \in [0,1] $[/tex]
Per identificare un punto su una sfera ho bisogno di due coordinate (coordinate sferiche) ovvero dei due angoli (latitudine e longitudine).
Quindi mi è sufficiente mandare [tex]$ \alpha $[/tex] in uno di questi angoli, per il raggio, identifico tutti i punti che hanno raggio 1, quindi è lecito pensare di ripetere il discorso fatto prima, mando il raggio valutato con l'esponenziale complessa ovvero [tex]$F (r)=exp( r *2 \pi i)$[/tex].
Quindi si conclude per le proprietà delle applicazioni usate.
@cirasa
Non so, proverò a vedere cosa ne esce, ma non riesco a capire bene cosa fai aggiungendo a $RR^2$ un punto all'infinito...
@dissonance
grazie per la segnalazione, appeno ho sotto mano il sernesi controllo, comunque io vivo a Pisa ma non sono pisano, quindi non dirò mai di "molto bellina", come non darò mai del "bimbo" ad un ventenne
Tutto inizia dal: caliamo di dimensione e vediamo cosa succede.
Se considero il segmento $[0,1]$ in $RR$ (nota bene, questi altro non è che il disco in $RR$) e identifico $0$ e $1$ ottengo praticamente una circonferenza. Come? Mi basta considerare l'esponenziale complesso questa è una funzione di periodo [tex]$2 \pi$[/tex] quindi è lecito pensare che [tex]$F (x)=exp( x *2 \pi i)$[/tex] funzioni. Non è difficile da dimostrare.
NB: l'esponenziale complesso va nel piano complesso non in $RR^2$ ma chiaramente questi due sono omeomorfi, per non appesantire la notazione ho usato l'esponenziale, ma chiaramente per esser formali andava usato [tex]$F(x)=( \sin(2 \pi x), \cos(2 \pi x))$[/tex]
Bene a questo punto facciamo alcune considerazioni sul disco in $RR^2$
Per determinare un punto nel disco ho bisogno di due coordinate, le polari mi fanno comodo, ovvero ho bisogno dell'angolo e del raggio.
L'angolo [tex]$ \alpha \in [0,2 \pi ] $[/tex] mentre il raggio sarà [tex]$ r \in [0,1] $[/tex]
Per identificare un punto su una sfera ho bisogno di due coordinate (coordinate sferiche) ovvero dei due angoli (latitudine e longitudine).
Quindi mi è sufficiente mandare [tex]$ \alpha $[/tex] in uno di questi angoli, per il raggio, identifico tutti i punti che hanno raggio 1, quindi è lecito pensare di ripetere il discorso fatto prima, mando il raggio valutato con l'esponenziale complessa ovvero [tex]$F (r)=exp( r *2 \pi i)$[/tex].
Quindi si conclude per le proprietà delle applicazioni usate.
@cirasa
Non so, proverò a vedere cosa ne esce, ma non riesco a capire bene cosa fai aggiungendo a $RR^2$ un punto all'infinito...
@dissonance
grazie per la segnalazione, appeno ho sotto mano il sernesi controllo, comunque io vivo a Pisa ma non sono pisano, quindi non dirò mai di "molto bellina", come non darò mai del "bimbo" ad un ventenne
Mi riferivo a questi due articoli presi da Wikipedia.
http://it.wikipedia.org/wiki/Proiezione_stereografica
http://it.wikipedia.org/wiki/Compattificazione_di_Alexandrov
In particolare cito dal primo articolo:
Dal secondo articolo:
Unendo le due informazioni in corsivo dovresti ottenere ciò che cerchi.
Scusa se sono un po' stringato, ma sto uscendo. Magari domani, se ci sono problemi, provo a spiegarmi meglio.
Grazie a dissonance per l'approvazione, mi tranquilizza un po'!
http://it.wikipedia.org/wiki/Proiezione_stereografica
http://it.wikipedia.org/wiki/Compattificazione_di_Alexandrov
In particolare cito dal primo articolo:
Questa proiezione [la proiezione stereografica] determina una corrispondenza biunivoca tra i punti della sfera [intende la superficie sferica] privata di N (il polo Nord) e i punti del piano. Questa può estendersi ad una corrispondenza biunivoca tra punti della sfera e i punti del piano ampliato con un punto all'infinito: basta far corrispondere a questo il polo Nord.
Dal secondo articolo:
La compattificazione di Alexandroff di uno spazio topologico non compatto $X$ è uno spazio topologico compatto che estende lo spazio di partenza $X$ mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con $\infty$).
...
Analogamente, la compattificazione di Alexandroff del piano reale è topologicamente equivalente alla sfera $S^2$.
Unendo le due informazioni in corsivo dovresti ottenere ciò che cerchi.
Scusa se sono un po' stringato, ma sto uscendo. Magari domani, se ci sono problemi, provo a spiegarmi meglio.
Grazie a dissonance per l'approvazione, mi tranquilizza un po'!
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