Omeomorfismo tra circonferenze

[process11]

devo dire se queste due spazi topologici sono omeomorfi
$X={(x,y) in R^2 : x^2+y^2=1} ∪ {(x,y) in R^2 : x^2+y^2=4}$

$Y={(x,y) in R^2 : (x-2)^2+y^2=1} ∪ {(x,y) in R^2 : (x+2)^2+y^2=1}$

ho cercato in mille modi di dare una funzione $f:X->Y$ (trovandola ben definita, continua e biettiva ma non ci sono riuscito, cioè ho detto

definisco
$f(x,y)=(x-2,y) $ se ${(x,y) in R^2 : x^2+y^2=1}$, è l'altro pezzo il problema...qualcuno ha qualche idea??

[j18eos]

"blabla":devo dire se queste due spazi topologici sono omeomorfi...

E lo sono?

[dissonance]

Sono d'accordo con Armando. Prima disegnati i due spazi e cerca di capire se sono omeomorfi o no. Poi cercherai un omeomorfismo oppure una dimostrazione precisa del fatto che non sono omeomorfi.

[process11]

ci ho pensato, e con questa funzione(da aggiungersi all'altra) $f(x,y)=(2x+4,2y)$ se $ (xy) in R^2 : x^2+y^2=4$....dovrebbe essere giusta..è ben definita, continua, biettiva da un compatto a un haus. quindi è un omeomorfismo...siete d'accordo?

[j18eos]

"blabla":ci ho pensato...

Che sono omeomorfi? Lo spero per te!

Essendo [tex]$X$[/tex] unioni di circonferenza concentriche a raggi diversi ([tex]$1$[/tex] e [tex]$2$[/tex] per essere esatti), ed [tex]$Y$[/tex] unione di circonferenze diverse ma di stesso raggio [tex]$1$[/tex], basta traslare la circonferenza di raggio [tex]$1$[/tex] in una medesima di [tex]$Y$[/tex] e traslare riducendo per omotetia di ragione [tex]$\frac{1}{2}$[/tex] l'altra circonferenza di raggio [tex]$2$[/tex] nella restante circonferenza di [tex]$Y$[/tex].
Se la funzione scelta è questa stai a posto!

[process11]

no no che erano omeomorfi ne ero convinto, il problema era trovare la funzione, adesso sono soddisfatto

[j18eos]

Per risolvere l'esercizio, come dice spesso il mio caro ed esimio moderatore Giuseppe dissonance: bastava fare un disegno!

Poi non capisco, riesci ad immaginarti la margherita topologica e non riesci ad immaginarti [tex]$4$[/tex] circonferenze?

[process11]

certo che me lo sono fatto un disegno, e infatti ne son venuto a capo, o, come dice liga, almeno credo... poi un conto è immaginarsi la margherita topologica un conto è dimostrare che non è(secondo me) haussdorf, perchè mi sembra chiaro che i due intorni non riesco a separarli, il problema è dimostrare rigorosamente come, non è facilissimo cmq....

[j18eos]

"blabla":...è dimostrare che non è(secondo me) Hausdorff...

Che cacofonìa! Usa dire che non è (secondo te) [tex]$\mathrm{T}_2$[/tex]!

P.S.: Se ne parla nella discussione opportuna!

[process11]

è la prima volta che sento il termine cacofonìa, bello però, da ora in poi lo userò anch'io

[dissonance]

Certo che sulle notazioni io e Armando siamo proprio come il giorno e la notte. Io infatti preferisco chi dice "[...]la circonferenza è Hausdorff" a chi usa i vari $T1, T2, T3 1/2... T28.457...$. Si, certo, il primo è una chiara importazione dall'inglese dove "Hausdorff" è un aggettivo: "let $X$ be a Hausdorff space...". Ma la classificazione in $T1, T2...$ non mi piace, trovo che sia superata. C'è stato il progetto di classificare così i vari spazi, poi ci si è resi conto che non era possibile e il progetto è stato abortito.

L'espressione migliore in assoluto è (IMHO) di Hausdorff: "la circonferenza è uno spazio di Hausdorff".

[ciampax]

Concordo con dissonance: queste definizioni "etichetta" risultano obsolete e anche un po' noiose. E sono altresì d'accordo sull'uso (in italiano) della terminologia "di Hausdorff", quale complemento di specificazione (o, forse, in questo caso, è un complemento di "materia"?) più che usare il nome del matematico come pura apposizione.

[j18eos]

@dissonance Io sono il giorno.

@dissonance&ciampax Concordo che l'espressione "spazio di Hausdorff" è migliore di "spazio Hausdorff".