Omeomorfismo tra [0,1] e un segmento
Buon pomeriggio a tutti!
Ho bisogno di un vostro parere o suggerimento per qualche dubbio su una proposizione di geometria 2, che riguarda la connessione in $RR^n$ dotato della topologia naturale.
Prop: Siano $y,z in RR^n$ , con $y!=z$, allora il segmento $\bar{yz}$ è omeomorfo all'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$.
Dim:
Sia $f : [0,1] \to \bar{yz} sube RR^n$ l'omeomorfismo tale che
$t \to y+t(z-y)$
Se $y=(y_1,....y_n)$ e$ z=(z_1,....z_n)$ e se compongo f con l'i-ma proiezione $p_i$ ottengo:
$ [0,1] \to \bar{yz} sube RR^n \to RR$
$ t \to y+t(z-y) \to y_i+t(z_i-y_i)$
f è continua. Inoltre f è invertibile con inversa continua. Per ipotesi $ EE j $ tale che $ y_j !=z_j$. Prendo un $ x in \bar{yz}$, $x_j= y_j+t(z_j-y_j)$ , da cui posso ricavare $ t = (x_j - y_j)/(z_j - y_j)$
$ f^-1 : x=(x_1,...,x_n) in \bar{yz} \to (x_j - y_j)/(z_j - y_j)$.
Questa è la dimostrazione che ho sui miei appunti, direi che spiega qual'è l'omeomorfismo tra il segmento e l'intervallo, e come agisce, non vedo la dimostrazione del prechè f è un omeomorfismo! Sul web ho trovato solo accenni su come agisce l'omeomorfismo, nessuna dimostrazione! Per caso è una dimostrazione che solitamente non viene trattata, oppure la proposizione dimostra che f è un omeomorfismo ed io non ho capito molto su queste applicazioni?
Spero ovviamente che la risposta sia la prima
Grazie a tutti!!!
Ho bisogno di un vostro parere o suggerimento per qualche dubbio su una proposizione di geometria 2, che riguarda la connessione in $RR^n$ dotato della topologia naturale.
Prop: Siano $y,z in RR^n$ , con $y!=z$, allora il segmento $\bar{yz}$ è omeomorfo all'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$.
Dim:
Sia $f : [0,1] \to \bar{yz} sube RR^n$ l'omeomorfismo tale che
$t \to y+t(z-y)$
Se $y=(y_1,....y_n)$ e$ z=(z_1,....z_n)$ e se compongo f con l'i-ma proiezione $p_i$ ottengo:
$ [0,1] \to \bar{yz} sube RR^n \to RR$
$ t \to y+t(z-y) \to y_i+t(z_i-y_i)$
f è continua. Inoltre f è invertibile con inversa continua. Per ipotesi $ EE j $ tale che $ y_j !=z_j$. Prendo un $ x in \bar{yz}$, $x_j= y_j+t(z_j-y_j)$ , da cui posso ricavare $ t = (x_j - y_j)/(z_j - y_j)$
$ f^-1 : x=(x_1,...,x_n) in \bar{yz} \to (x_j - y_j)/(z_j - y_j)$.
Questa è la dimostrazione che ho sui miei appunti, direi che spiega qual'è l'omeomorfismo tra il segmento e l'intervallo, e come agisce, non vedo la dimostrazione del prechè f è un omeomorfismo! Sul web ho trovato solo accenni su come agisce l'omeomorfismo, nessuna dimostrazione! Per caso è una dimostrazione che solitamente non viene trattata, oppure la proposizione dimostra che f è un omeomorfismo ed io non ho capito molto su queste applicazioni?
Spero ovviamente che la risposta sia la prima
Grazie a tutti!!!
Risposte
Hai un'applicazione \(f\) fra due spazi topologici. Essa è un omeomorfismo se è continua ed \(f^{-1}\) esiste ed è continua. E' definita come \(f(t)=y+t(z-y)\). L'inversa esiste ed è \(t(f)=(f-y)/(z-y)\) e non ci sono problemi al denominatore data la definizione del segmento. Si tratta di verificare la continuità delle due applicazioni. Per la prima, sempre che abbia scritto bene
\begin{split}
|f(t)-f(t_{0})|<\epsilon \\
|y+t(z-y)-(y+t_{0}(z-y))|<\epsilon \\
|y+tz-ty-y-t_{0}z+t_{0}y))|<\epsilon \\
|tz-ty-t_{0}z+t_{0}y|<\epsilon \\
|y(t_{0}-t)-z(t_{0}-t)|<\epsilon \\
|(y-z)(t_{0}-t)|<\epsilon \\
|y-z||t_{0}-t|<\epsilon \\
\end{split}
quindi dovrebbe seguire dalla definizione di continuità con \(\epsilon-\delta\). Bisogna dimostrare poi la continuità dell'inversa. Oppure vedi che seguono dalla continuità di una funzione polinomiale e della funzione \(1/f\) di una funzione continua.
\begin{split}
|f(t)-f(t_{0})|<\epsilon \\
|y+t(z-y)-(y+t_{0}(z-y))|<\epsilon \\
|y+tz-ty-y-t_{0}z+t_{0}y))|<\epsilon \\
|tz-ty-t_{0}z+t_{0}y|<\epsilon \\
|y(t_{0}-t)-z(t_{0}-t)|<\epsilon \\
|(y-z)(t_{0}-t)|<\epsilon \\
|y-z||t_{0}-t|<\epsilon \\
\end{split}
quindi dovrebbe seguire dalla definizione di continuità con \(\epsilon-\delta\). Bisogna dimostrare poi la continuità dell'inversa. Oppure vedi che seguono dalla continuità di una funzione polinomiale e della funzione \(1/f\) di una funzione continua.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo