Omeomorfismo particolare
Siano $X:={(x,y)\in \mathbb{R}^2|x>0,y>0}$, $Y:={(x,y)\in \mathbb{R}^2|0
Ad occhio e croce direi di no, ma non riesco a trovare nessuna proprietà degli omeomorfismi che non possa esser valida!
Ad occhio e croce direi di no, ma non riesco a trovare nessuna proprietà degli omeomorfismi che non possa esser valida!
Risposte
Il problema è nel dimostrare che in \(Y\) non vi sia nessun sottoinsieme omeomorfo a \(X\)!
Io ho subito pensato a questo omeomorfismo:
\[
f:(x;y)\in\mathbb{R}^2\to\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+1}};\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\right)\in S^1
\]
dovrebbe fare al caso tuo; se usato a dovere!
P.S.: Non penso di ricordarmelo male, ma non si sà mai... di questi tempi, anzi orari.
Io ho subito pensato a questo omeomorfismo:
\[
f:(x;y)\in\mathbb{R}^2\to\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+1}};\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+1}}\right)\in S^1
\]
dovrebbe fare al caso tuo; se usato a dovere!
P.S.: Non penso di ricordarmelo male, ma non si sà mai... di questi tempi, anzi orari.
Ma quella mappa non è un omeomorfismo di \(\mathbb{R}^2\) in sé. Inoltre \(X\) e \(Y\) sono omeomorfi: quindi il problema non è "dimostrare che in \(Y\) non vi sia nessun sottoinsieme omeomorfo ad \(X\)".
Io farei un discorso di compattezza. Supponiamo per assurdo che una tale mappa \(f \colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) esista. Allora, essendo \(f(X)\subset Y,\) dovrebbe essere anche \(f(\bar{X})\subset \bar{Y}\) (perché \(f\) è una mappa continua). L'insieme a secondo membro è compatto e \(f\), essendo un omeomorfismo, è una mappa chiusa. Quindi anche \(f(\bar{X})\) dovrebbe essere compatto ma questa è una contraddizione.
@ale: Ti convince?
Io farei un discorso di compattezza. Supponiamo per assurdo che una tale mappa \(f \colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\) esista. Allora, essendo \(f(X)\subset Y,\) dovrebbe essere anche \(f(\bar{X})\subset \bar{Y}\) (perché \(f\) è una mappa continua). L'insieme a secondo membro è compatto e \(f\), essendo un omeomorfismo, è una mappa chiusa. Quindi anche \(f(\bar{X})\) dovrebbe essere compatto ma questa è una contraddizione.
@ale: Ti convince?
Mmmm.... Non tanto!!
Tutto il discorso fila, ma non riesco ad afferrare da cosa concludi che $f(\bar{X})$ non può essere compatto.
(Se fosse perchè $\bar{X}$ non è compatto, allora c'è un errore!)
Tutto il discorso fila, ma non riesco ad afferrare da cosa concludi che $f(\bar{X})$ non può essere compatto.
(Se fosse perchè $\bar{X}$ non è compatto, allora c'è un errore!)
"ale.b":
(Se fosse perchè $\bar{X}$ non è compatto, allora c'è un errore!)
Perché? \(f\) è un omeomorfismo, non una semplice applicazione continua, quindi \(f(\bar{X})\) è compatto se e solo se \(\bar{X}\) è compatto.
Già... mi ero dimenticato che $f$ è un omeomorfismo... 
Allora ci sto! Un'ultima cosa... Come dimostro che se $f$ è continua, allora
$f(X)\subset Y$ $\Rightarrow$ $f(\bar{X})\subset \bar{Y}$
??
Allora ci sto! Un'ultima cosa... Come dimostro che se $f$ è continua, allora
$f(X)\subset Y$ $\Rightarrow$ $f(\bar{X})\subset \bar{Y}$
??
Se non ricordo male, le applicazioni continue \(f:A\to B\) mappano punti di aderenza di \(A\) in punti di aderenza di \(f(A)\subseteq B\); quindi per il tuo esercizio \(f\left(\overline{X}\right)\subseteq\overline{f(X)}\subseteq\overline{Y}\).
Dimentico qualcosa?
Dimentico qualcosa?
Non solo. Una mappa \(f\colon A \to B\) è continua se e solo se
\[\forall S \subset A, f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)},\]
il che intuitivamente si capisce: una mappa continua non può "strappare via" i punti di aderenza (cosa che accadrebbe se ci fosse un \(x \in \overline{S}\) tale che \(f(x)\) non è aderente a \(f(S)\)). Questa si chiama (apprendo ora su Wikipedia) definizione di continuità in termini dell'operatore di chiusura.
Dimostrare che questa definizione di continuità è equivalente alla solita è un esercizio standard di topologia. Prova a svolgerlo, non mi pare particolarmente difficile. Se sei in difficoltà osserva che, in un contesto di spazi metrici, l'implicazione
\[(f\ \text{è continua}) \Rightarrow (f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)})\]
(quella che ti serve) è immediata: basta ragionare per successioni.
\[\forall S \subset A, f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)},\]
il che intuitivamente si capisce: una mappa continua non può "strappare via" i punti di aderenza (cosa che accadrebbe se ci fosse un \(x \in \overline{S}\) tale che \(f(x)\) non è aderente a \(f(S)\)). Questa si chiama (apprendo ora su Wikipedia) definizione di continuità in termini dell'operatore di chiusura.
Dimostrare che questa definizione di continuità è equivalente alla solita è un esercizio standard di topologia. Prova a svolgerlo, non mi pare particolarmente difficile. Se sei in difficoltà osserva che, in un contesto di spazi metrici, l'implicazione
\[(f\ \text{è continua}) \Rightarrow (f(\overline{S}) \subset \overline{f(S)})\]
(quella che ti serve) è immediata: basta ragionare per successioni.
Perfetto! Ci sono! Grazie veramente a tutti e due!
Bonus question:
Esiste un'applicazione continua e biiettiva $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ tale che $f(X)\subsetY$ ??
Bonus question:
Esiste un'applicazione continua e biiettiva $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ tale che $f(X)\subsetY$ ??
Eh, qua può essere che la risposta sia affermativa. Prendi un omeomorfismo \(\rho: X \to Y\) e vedi se si può prolungare per continuità ad una mappa bigettiva di \(\mathbb{R}^2\) in sé. A naso direi che si può fare, e che intuitivamente si capisce pure come. Trovare una espressione analitica di tale \(f\) è un po' più fastidioso, forse una immagine intuitiva basta, ai fini dell'esercizio. Però adesso devo scappare, purtroppo! 
Sento puzza di omotopìe in questo esercizio bonus; dato che dovrei rispolverarle ti chiedo: sono argomento del corso?
Il fatto è che il bonus è di mia "invenzione"... non so!
Quando ho un attimo vedrò che posso tirar fuori!
Quando ho un attimo vedrò che posso tirar fuori!
A me pare che le omotopie non c'entrino. Una bigezione continua (ma con l'inversa non continua) che fa il mestiere richiesto da ale esiste: basta immaginare una contrazione di \(X\) su \(Y\) ed estendere ad una mappa che applica in modo continuo \(\mathbb{R}^2\setminus X\) su \(\mathbb{R}^2\setminus Y\). Questa mappa esiste certamente, basta immaginare di fare sconfinare il secondo e il quarto quadrante nel primo in modo da ricoprire tutta l'area lasciata scoperta da \(Y\).
Naturalmente al momento di invertire tale mappa salteranno fuori delle difficoltà insormontabili: la mappa inversa infatti deve per forza avere delle discontinuità, altrimenti sarebbe un omeomorfismo ma abbiamo appena dimostrato che un tale omeomorfismo non può esistere.
Naturalmente al momento di invertire tale mappa salteranno fuori delle difficoltà insormontabili: la mappa inversa infatti deve per forza avere delle discontinuità, altrimenti sarebbe un omeomorfismo ma abbiamo appena dimostrato che un tale omeomorfismo non può esistere.
"dissonance":In questo esercizio bonus sì, non c'entrano!
A me pare che le omotopie non c'entrino...
Comunque la risposta è no, in quanto le applicazioni biettive e continue di \(\mathbb{R}^n\) in sé con la topologia naturale sono omeomorfismi; l'ho dimostrato in questo post!
Si vede facilmente che i prodotti topologici finiti conservano la proprietà LCH e localmente finito per compatti.
Arrivo in ritardo, ma mi sembra che per risolvere l'esercizio iniziale era più facile considerare l'omeomorfismo inverso. Se $g$ è tale omeomorfismo, abbiamo che $g(\barY)$ è compatto e contiene $X$, assurdo.
Edit: Ah cavolo non mi ero manco accorto che continuasse dopo la prima pagina, sono molto più in ritardo di quanto pensassi. Chiedo scusa!
Edit: Ah cavolo non mi ero manco accorto che continuasse dopo la prima pagina, sono molto più in ritardo di quanto pensassi. Chiedo scusa!
Bella soluzione yellow! 
"j18eos":
Comunque la risposta è no, in quanto le applicazioni biettive e continue di \(\mathbb{R}^n\) in sé con la topologia naturale sono omeomorfismi; l'ho dimostrato in questo post!
Ah, ecco, quindi la mia intuizione sarebbe sbagliata. Però Armando di quei tuoi post non si capisce assolutamente nulla, fai un casino atroce. Puoi fornire una dimostrazione chiara e diretta di questo teorema, per favore? La cosa mi interessa. Se la dimostrazione è complicata mi va benissimo anche un riferimento bibliografico.
Grazie.
Certo Giuseppe, non aspettavo altro che richieste del genere 
; però puoi indicarmi, almeno in privato, i punti atroci 
tanto lo sai che non sono bravo a individuarli! 
P.S.: Tutta farina del mio sacco, spero che non sia farina del diavolo!
; però puoi indicarmi, almeno in privato, i punti atroci tanto lo sai che non sono bravo a individuarli! P.S.: Tutta farina del mio sacco, spero che non sia farina del diavolo!
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