Omeomorfismo locale vs spazi localmente omeomorfi

[cianfa72]

Ciao a tutti,

in ambito delle nozioni introduttive topologiche, fissati 2 spazi $A$ e $B$ ciascuno dotato della propria topologia, non mi e' chiara la differenza tra l'essere localmente omeomorfi piuttosto che esista un omeomorfismo locale tra i due.

Grazie

[vict85]

Che la seconda è la definizione della prima. O per lo meno nei libri che ho studiato io. Come hai definito l'essere localmente omeomorfi?

[cianfa72]

"vict85":Che la seconda è la definizione della prima. O per lo meno nei libri che ho studiato io. Come hai definito l'essere localmente omeomorfi?

essere localmente omeomorfi: per ogni $x in A$ esiste un intorno di $A$ (un sottoinsieme aperto di $A$) omeomorfo ad un aperto di $B$

[j18eos]

Sparo!

Essere localmente omeomorfi significa ciò che hai scritto, ovvero per ogni \(\displaystyle x\in A\) esiste un intorno di \(\displaystyle A\) (un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle A\)) omeomorfo ad un aperto di \(\displaystyle B\).

L'esistenza di un omeomorfismo locale significa che esistono un \(\displaystyle x\in A\) e un intorno di \(\displaystyle A\) (un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle A\)) omeomorfo ad un aperto di \(\displaystyle B\).

[cianfa72]

Citando quanto al link wiki ad esempio:

"If there is a local homeomorphism from X to Y, then X is locally homeomorphic to Y, but the converse is not always true. For example, the two dimensional sphere, being a manifold, is locally homeomorphic to the plane $R^2$ but there is no local homeomorphism between them (in either direction)."

[cianfa72]

"arnett":Invece $X$ è localmente omeomorfo a $Y$ se per ogni $x \in X$ esistono intorni $U_x, V_{f(x)}$ e un omeomorfismo $g_x:U_x \to V_y$.

verosimilmente dovrebbe essere "...se per ogni $x \in X$ esistono intorni $U_x, V_{g(x)}$ e un omeomorfismo $g_x:U_x \to V_y$." con $U_x$ e $V_{g(x)}$ presi con la topologia di sottospazio ereditata rispettivamente da quella di $X$ e $Y$

Tornando alla definizione di omeomorfismo locale quindi è una mappa (funzione) definita totalmente -- vedi anche questo thread

Tra l'altro ritorna il fatto che una carta (chart) di una varieta' topologica e' una mappa (funzione) parziale e in generale non e' un omeomorfismo locale (il quale invece come detto richiede di essere definito totalmente)

Vi torna ?

[cianfa72]

"arnett":Allora dico che $X$ è localmente omeomorfo a $Y$ se per ogni $x\in X$ esistono un intorno $U_x$, un aperto $V\subset Y$ e un omeomorfismo $g:U_x\to V$.

A rigore va specificata la topologia di $U_x$ e $V$ che di fatto si assume essere quella di sottospazio rispettivamente di $X$ e $Y$

"arnett":
Comunque non vedo la ragione di questa insistenza sulle 'funzioni parziali'... Una carta è una funzione con dominio $U$, un aperto di $X$.

Si, in effetti non era necessario aprire un altro thread...

In ogni caso se non sfrutti la nozione di funzione parziale per definire una carta (e quindi consideri funzioni totalmente definite) devi esplicitare --almeno formalmente-- la topologia del dominio $U$ e dell'immagine (aperto di $X$) per le quali la mappa e' un omeomorfismo.