Omeomorfismo disco chiuso quozientato e sfera
ciao ragazzi questa è la mia domanda:
in R2
ho una palla chiusa di centro l' origine e raggio 1 quozientata la circonferenza. perchè è omeomorfa a una sfera S2?
intuitivamente so che sono omeomorfi ma come lo dimostro?
centra qualcosa la compattificazione di alexandroff?
grazie
in R2
ho una palla chiusa di centro l' origine e raggio 1 quozientata la circonferenza. perchè è omeomorfa a una sfera S2?
intuitivamente so che sono omeomorfi ma come lo dimostro?
centra qualcosa la compattificazione di alexandroff?
grazie
Risposte
Praticamente hai il disco chiuso $\bar{D}={x\in RR^2: ||x||<=1}$ in $RR^2$.
E quozienti $D$ rispetto alla relazione di equivalenza $\sim$ definita da
$x\sim y\ \Leftrightarrow\ x,y\in S^1$,
dove $S^1={x\in RR^2: ||x||=1}$.
Giusto?
Se è così, sì, mi sembra che tu possa usare la compattificazione di Alexandroff.
Dovresti sapere che la sfera $S^2$ è (omeomorfa a) la compattificazione di Alexandrov di $RR^2$.
Dunque ti è sufficiente verificare che il tuo spazio quoziente è omeomorfo alla compattificazione di Alexandrov di $RR^2$.
Ma $RR^2$ è omeomorfo al disco aperto $D={x\in RR^2: ||x||<1}$ (perché?) e dunque puoi provare che il tuo spazio quoziente è omeomorfo alla compattificazione di Alexandrov del disco aperto $D$.
Qualche idea?
E quozienti $D$ rispetto alla relazione di equivalenza $\sim$ definita da
$x\sim y\ \Leftrightarrow\ x,y\in S^1$,
dove $S^1={x\in RR^2: ||x||=1}$.
Giusto?
Se è così, sì, mi sembra che tu possa usare la compattificazione di Alexandroff.
Dovresti sapere che la sfera $S^2$ è (omeomorfa a) la compattificazione di Alexandrov di $RR^2$.
Dunque ti è sufficiente verificare che il tuo spazio quoziente è omeomorfo alla compattificazione di Alexandrov di $RR^2$.
Ma $RR^2$ è omeomorfo al disco aperto $D={x\in RR^2: ||x||<1}$ (perché?) e dunque puoi provare che il tuo spazio quoziente è omeomorfo alla compattificazione di Alexandrov del disco aperto $D$.
Qualche idea?
dunque..io posso vedere allora lo spazio quoziente come il disco aperto più un punto giusto?
visto che il disco aperto è omeomorfo a R2, è come se ricompattassi R2 con un punto e ottengo la sfera..è così?
visto che il disco aperto è omeomorfo a R2, è come se ricompattassi R2 con un punto e ottengo la sfera..è così?
Certo, è giusto. E' proprio quello che stai facendo.
Resta da dare una dimostrazione rigorosa del fatto che
1) $RR^2$ è omeomorfo al disco aperto;
2) la compattificazione di Alexandrov del disco aperto è omeomorfa al nostro quoziente.
Resta da dare una dimostrazione rigorosa del fatto che
1) $RR^2$ è omeomorfo al disco aperto;
2) la compattificazione di Alexandrov del disco aperto è omeomorfa al nostro quoziente.
l' omeomorfismo da R2 al disco aperto si ottiene portando (x,y) in (x/(1- norma, y/(1- norma))..
la 2 non la so..
la 2 non la so..
Forse può esserti d'aiuto la seguente proposizione (prova a dimostrarla, se ti va)
Sia $X$ uno spazio topologico $T_2$ e localmente compatto e sia $Y$ uno spazio topologico $T_2$ e compatto.
Sia $\hat{X}=X\cup{\infty}$ la compattificazione di Alexandrov di $X$.
Supponiamo di avere un'applicazione continua $f;X\to Y$ tale che $f(X)=Y\setminus{y_0}$ con $y\in Y$, tale che $f_\#:X\to Y\setminus {y_0}$ sia un omeomorfismo.
Allora l'applicazione $h:\hat{X}\to Y$ definita ponendo $h(\infty)=y_0$ e $h(x)=f(x)$ per ogni $x\in X$ è un omeomorfismo.
Nel tuo caso $X$ è il disco aperto, $Y$ è il tuo quoziente...non dovrebbe essere complicato concludere...
P.S. Prova ad usare le formule (clic). Esse sono obbligatorie dopo 30 messaggi.
Sia $X$ uno spazio topologico $T_2$ e localmente compatto e sia $Y$ uno spazio topologico $T_2$ e compatto.
Sia $\hat{X}=X\cup{\infty}$ la compattificazione di Alexandrov di $X$.
Supponiamo di avere un'applicazione continua $f;X\to Y$ tale che $f(X)=Y\setminus{y_0}$ con $y\in Y$, tale che $f_\#:X\to Y\setminus {y_0}$ sia un omeomorfismo.
Allora l'applicazione $h:\hat{X}\to Y$ definita ponendo $h(\infty)=y_0$ e $h(x)=f(x)$ per ogni $x\in X$ è un omeomorfismo.
Nel tuo caso $X$ è il disco aperto, $Y$ è il tuo quoziente...non dovrebbe essere complicato concludere...
P.S. Prova ad usare le formule (clic). Esse sono obbligatorie dopo 30 messaggi.
praticamente ha mi permette di mandare il punto all' infinito nella classe con tutti i punti della circonferenza e il resto poi è un identità perche manderei il disco aperto nel desco chiuso privato del bordo.
ho capito bene?
grazie la prossima volta userò le formule
ho capito bene?
grazie la prossima volta userò le formule
Sì hai capito bene.
Devi naturalmente dimostrare che questa applicazione $h$ è un omeomorfismo.
Oppure puoi usare la proposizione a cui mi riferivo nel mio messaggio precedente, scegliendo $f$ opportunamente.
Devi naturalmente dimostrare che questa applicazione $h$ è un omeomorfismo.
Oppure puoi usare la proposizione a cui mi riferivo nel mio messaggio precedente, scegliendo $f$ opportunamente.
ok grazie mille!
mi sei stato molto d' aiuto
mi sei stato molto d' aiuto
Il disco aperto è localmente compatto?
Ciao matteotass,
ci sono vari modi per rispondere alla tua domanda.
Il primo che mi viene in mente è la verifica della definizione: come saprai, uno spazio topologico è localmente compatto se ogni punto ammette un sistema fondamentale di intorni compatti. Puoi verificare se vale o meno questa proprietà per il disco aperto?
Oppure puoi usare alcune proprietà della locale compattezza. Dai un'occhiata qui per qualche idea.
ci sono vari modi per rispondere alla tua domanda.
Il primo che mi viene in mente è la verifica della definizione: come saprai, uno spazio topologico è localmente compatto se ogni punto ammette un sistema fondamentale di intorni compatti. Puoi verificare se vale o meno questa proprietà per il disco aperto?
Oppure puoi usare alcune proprietà della locale compattezza. Dai un'occhiata qui per qualche idea.
Pensavo di usare: LEMMA: X di Haussdorff e localmente compatto sse ogni punto possiede un intorno compatto.
Però ogni intorno è limitato ma non chiuso, quindi non è compatto.
Sul libro dho trovato che ogni aperto di $RR^n$ è localmente compatto quindi anche questo lo è ma non capisco il perchè.
Però ogni intorno è limitato ma non chiuso, quindi non è compatto.
Sul libro dho trovato che ogni aperto di $RR^n$ è localmente compatto quindi anche questo lo è ma non capisco il perchè.
Scusa se ti rispondo con ritardo.
Non mi ricordavo questo lemma.
In ogni caso non è vero che un punto della disco aperto non ammette intorni compatti. Per esempio, se $x_0\in D$, un intorno compatto di $x_0$ in $D$ è
$\bar{B}_\varepsilon(x_0)={y\in RR^2: ||y-x_0||<=\varepsilon}$, dove $\varepsilon>0$ è opportunamente piccolo (in modo che $\bar{B}_\varepsilon(x_0)\subset D$).
Non mi ricordavo questo lemma.
In ogni caso non è vero che un punto della disco aperto non ammette intorni compatti. Per esempio, se $x_0\in D$, un intorno compatto di $x_0$ in $D$ è
$\bar{B}_\varepsilon(x_0)={y\in RR^2: ||y-x_0||<=\varepsilon}$, dove $\varepsilon>0$ è opportunamente piccolo (in modo che $\bar{B}_\varepsilon(x_0)\subset D$).
Comunque il lemma mi pare falso, o comunque non ben detto: il fatto che ogni punto abbia un intorno compatto è la definizione di locale compattezza, ed esistono (banalmente) spazi localmente compatti ma non di Hausdorff.
Dando un'occhiata alla pagina di Wiki inglese ho trovato che ci sono varie definizioni di spazio localmente compatto, fra loro equivalenti solo nel caso di uno spazio di Haussdorff.
Forse matteotass sta usando qualche altra definizione...
In ogni caso la formulazione precisa del lemma dovrebbe essere:
"Sia $X$ uno spazio topologico di Haussdorff. Allora $X$ è localmente compatto se e solo se ogni punto di $X$ ammette almeno un intorno compatto",
dove localmente compatto indica qualcosa su cui dovremmo accordarci
Mi sa che stiamo andando parecchio OT...
Forse matteotass sta usando qualche altra definizione...
In ogni caso la formulazione precisa del lemma dovrebbe essere:
"Sia $X$ uno spazio topologico di Haussdorff. Allora $X$ è localmente compatto se e solo se ogni punto di $X$ ammette almeno un intorno compatto",
dove localmente compatto indica qualcosa su cui dovremmo accordarci
Mi sa che stiamo andando parecchio OT...
Si mi sono sbagliato io a scrivere il lemma... La formulazione corretta è qualla che ha dato cirasa
Per quanto riguarda la definizione di localmente compatto io faccio riferimento a : Uno spazio topologico è localmente compatto se ogni suo punto possiede un un sistema fondamentale di intorni compatti.
Per il lemma, in questo caso, la definizione è equivalente a dire che ogni suo punto ammette almeno un intorno compatto. Infine con la costruzione della bolla chiusa di cirasa si conclude che D è localmente compatto. Giusto?
Sia X uno spazio topologico di Haussdorff. Allora X è localmente compatto se e solo se ogni punto di X ammette almeno un intorno compatto
Per quanto riguarda la definizione di localmente compatto io faccio riferimento a : Uno spazio topologico è localmente compatto se ogni suo punto possiede un un sistema fondamentale di intorni compatti.
Per il lemma, in questo caso, la definizione è equivalente a dire che ogni suo punto ammette almeno un intorno compatto. Infine con la costruzione della bolla chiusa di cirasa si conclude che D è localmente compatto. Giusto?
Giusto.
ok. Grazie!
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