Omeomorfismo

[process11]

sulla retta R dei numeri reali considero le seguenti relazioni di equivalenza
1)$x sim y $ se e solo se $y-x in Z$
2))$x simsim y $ se e solo se $x=y$ o $x,y in Z$

devo verificare se c'è o no un omeomorfismo tra

1) $S^1$

2) $X=R/sim$
3) $Y=R/(sim sim)$

tra $S^1$ e Y io ho ragionato cosi:
sia $pi:R->Y$ la proiezione sul quoziente e prendo $y=pi(1) in Y$. se i due spazi fossero omeomorfi esisterebbe un omeomorfismo $f:S^1->Y$. quindi la restizione $f_(S^1-{f^-1(y)}): S^1-{f^-1(y)}->Y-{y}$ sarebbe ancora un omeomorfismo. ma $Y-{y}$ ha infinite componenti conesse per archi, mentra se togliamo un punto alla circonferenza rimane connessa.....è giusto??? si può fare un ragionamento analogo per X?

[process11]

tiro su nella speranza di una risposta

[claudiamatica]

Per $Y$ direi che ci siamo, se prendi $Y - ZZ$ (indichiamo con $ZZ$ la classe di $0$) questo si può scrivere come unione disgiunta degli intervalli aperti $\pi(n, n+1)$, con $\pi$ proiezione canonica di $RR$ sul quoziente $Y$ e $n \in ZZ$.

Per quanto riguarda $X$ l'esempio è abbastanza canonico.. osserva che in pratica stai identificando tutti gli intervalli $[n, n+1]$ tra loro, incollandoli l'uno sull'altro e facendo coincidere gli estremi (visto che $n + 1 - n = 1 \in ZZ$). A questo punto sei in grado di continuare?

[process11]

io definirei che bisogna definire una funzione $f:X->S^1$, tipo questa

$f(x)=(sen2pix,cos2pix)$

essa è ben definita, continua, biietiva esiste l'inversa $f(sen2pix,cos2pix)=(arcsen2pix,arccos2pix)$ continua e biiettiva.

[claudiamatica]

Perfetto. Che è il modo canonico di costruire un isomorfismo tra $S^1$ e l'intervallo $[0,1]$ con gli estremi identificati.