Omeomorfismo
Dire se in $RR^3$ una sfera è omeomorfa a una semisfera.
Non so da dove partire. Qualche suggerimento?
Non so da dove partire. Qualche suggerimento?
Risposte
Prova pensando a proiettare una sfera su un piano e fa lo stesso con una semisfera con taglio parallelo al piano di proiezione... otterrai l'omeomorsismo che ti serve 
Scusa, ma non ho capito il tuo ragionamento 
Prendi una palla di gomma. Schiacciala sul tavolo in modo che la "parte di sotto" si schiacci e quella di sopra rimanga "tonda". Cos'è? Una semisfera. Credo sia questo che voleva dire LordK.
In altre parole l'omeomorfismo sarà l'identità dall'equatore in su e una proiezione su piano equatoriale dall'equatore in giù. Occhio ad attaccare i due pezzi con continuità.
In altre parole l'omeomorfismo sarà l'identità dall'equatore in su e una proiezione su piano equatoriale dall'equatore in giù. Occhio ad attaccare i due pezzi con continuità.
secondo me non sono omeomorfe:
se togliamo il polo alla semisfera (va bene un qualunque punto non sul "bordo") esiste un laccio che non è contraibile al laccio costante, mentre qualsiasi punto tolgo alla sfera ogni laccio è contraibile al laccio costante
se togliamo il polo alla semisfera (va bene un qualunque punto non sul "bordo") esiste un laccio che non è contraibile al laccio costante, mentre qualsiasi punto tolgo alla sfera ogni laccio è contraibile al laccio costante
Forse hai ragione. Io ho considerato la semisfera comprensiva di "base", ma a pensarci è più probabile che per semisfera si intendesse la sfera intersecata con {z>=0}. In questo secondo caso effettivamente non sono omeomorfe.
Ma io intendevo la semisfera con base 
Grazie per l'aiuto e scusate l'imprecisione.
Grazie per l'aiuto e scusate l'imprecisione.
E allora sono omeomorfe tutta la vita.
"Megan00b":
E allora sono omeomorfe tutta la vita.
c'è poco da aggiungere
Riapro questo topic perchè mi sono posto la seguente questione: dimostrare che $S^2={(x,y,z)\inRR^3:\x^2+y^2+z^2=1}$ non è omeomorfo a $S^2nnn{z>=0}$. Credo di avere un'idea intuitiva, parecchio bruttina da dire: in uno spazio topologico c'è il "buco", nell'altro no
Come potrei formalizzare questo risultato, sempre che sia corretto?
Come potrei formalizzare questo risultato, sempre che sia corretto?
"matths87":
Riapro questo topic perchè mi sono posto la seguente questione: dimostrare che $S^2={(x,y,z)\inRR^3:\x^2+y^2+z^2=1}$ non è omeomorfo a $S^2nnn{z>=0}$. Credo di avere un'idea intuitiva, parecchio bruttina da dire: in uno spazio topologico c'è il "buco", nell'altro no
Come potrei formalizzare questo risultato, sempre che sia corretto?
la mia "soluzione" per il primo quesito che hai posto è in realtà una soluzione a questo secondo
la tua idea non mi è molto chiara, per il momento quindi non mi pronuncio
La mia, più che un'idea, è un'intuizione stiracchiata.
Allora, non ho capito bene il discorso sui lacci. Su un libro di topologia mi sono pescato la definizione: dato $X$ (sotto)spazio topologico e $P$ un punto ad esso appartenente, un laccio è una funzione continua $\sigma:[0,1]\toX$ tale che $\sigma(0)=\sigma(1)=P$. Tu affermi che se togliamo un punto a $S^2nnn{z>=0}$ esiste un laccio che non è contraibile al laccio costante, mentre se facciamo lo stesso in $S^2$ un tale laccio esiste. Scusa, ma non riesco a visualizzare questa cosa.
Allora, non ho capito bene il discorso sui lacci. Su un libro di topologia mi sono pescato la definizione: dato $X$ (sotto)spazio topologico e $P$ un punto ad esso appartenente, un laccio è una funzione continua $\sigma:[0,1]\toX$ tale che $\sigma(0)=\sigma(1)=P$. Tu affermi che se togliamo un punto a $S^2nnn{z>=0}$ esiste un laccio che non è contraibile al laccio costante, mentre se facciamo lo stesso in $S^2$ un tale laccio esiste. Scusa, ma non riesco a visualizzare questa cosa.
se prendi una semisfera e togli il polo ottieni un disco bucato il cui gruppo fondamentale è $ZZ$ mentre se togli un punto ad una sfera ottieni un piano (basta usare la proiezione stereografica per ottenere l'omeomorfismo) il cui gruppo fondamentale è banale. Spero che così sia più chiaro, altrimenti dimmi. ciao
edit: il fatto fondamentale è che qualsiasi punto togli alla sfera ottieni un piano che ha gruppo fondamentale banale mentre esiste almeno un punto nella semisfera che se tolto da uno spazio con gruppo fondamentale non banale. Non so se serviva precisare, non credo, ma già che c'ero
edit: il fatto fondamentale è che qualsiasi punto togli alla sfera ottieni un piano che ha gruppo fondamentale banale mentre esiste almeno un punto nella semisfera che se tolto da uno spazio con gruppo fondamentale non banale. Non so se serviva precisare, non credo, ma già che c'ero
Sono d'accordo sul fatto che la disuguaglianza tra i gruppi fondamentali dei due sottospazi topologici implica che non sono omemorfi.
Non mi è chiaro, però, perchè il gruppo fondamentale di una semisfera privata di un punto è $mathbb{Z}$.
Non mi è chiaro, però, perchè il gruppo fondamentale di una semisfera privata di un punto è $mathbb{Z}$.
Come ho aggiunto dopo non è sempre vero che togliendo un punto ad una sfera si ottiene qualcosa con gruppo $ZZ$ però ne esiste uno, ad esempio il polo, per cui è così.
Per vedere che è $ZZ$: io direi innanzitutto che la semisfera meno il polo è omeomorfa al disco meno il centro (tramite la proiezione sul piano z=0) poi basta "contrarre" il disco su una sua circonferenza interna, in particolare il disco meno un punto e una sua circonferenza interna sono omotopi.
chiamo D il disco bucato e C la circonferenza di raggio $1/2$, $x$ il vettore (x,y,z) con abuso di notazione (che spero mi perdonerai )
siano $F: D->C$ e $G:C->D$ tali che $F(x)=1/2*x/|x|$ e $G(x)=x$
devo mostrare che $FG$ e $GF$ sono omotope alle rispettive identità.
GF è l'identità su C quindi niente da dimostrare.
FG prendo $A(x,t)=(1-t)x+(t/2*x/|x|)$ si vede $A(x,0)=x$ e $A(x,1)=1/2*x/|x|$
il disco bucato e la circonferenza sono omotopicamente equivalenti e quindi hanno le stesso gruppo fondamentale.
non mi è molto chiaro come funziona l'omotopia però dovrebbe andare. ciao
Per vedere che è $ZZ$: io direi innanzitutto che la semisfera meno il polo è omeomorfa al disco meno il centro (tramite la proiezione sul piano z=0) poi basta "contrarre" il disco su una sua circonferenza interna, in particolare il disco meno un punto e una sua circonferenza interna sono omotopi.
chiamo D il disco bucato e C la circonferenza di raggio $1/2$, $x$ il vettore (x,y,z) con abuso di notazione (che spero mi perdonerai
)siano $F: D->C$ e $G:C->D$ tali che $F(x)=1/2*x/|x|$ e $G(x)=x$
devo mostrare che $FG$ e $GF$ sono omotope alle rispettive identità.
GF è l'identità su C quindi niente da dimostrare.
FG prendo $A(x,t)=(1-t)x+(t/2*x/|x|)$ si vede $A(x,0)=x$ e $A(x,1)=1/2*x/|x|$
il disco bucato e la circonferenza sono omotopicamente equivalenti e quindi hanno le stesso gruppo fondamentale.
non mi è molto chiaro come funziona l'omotopia però dovrebbe andare. ciao
Ok, adesso quadra.
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
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