Omeomorfismi e isomorfismi

[nato_pigro1]

E' corretto dire che se due spazi topologici $X$ e $Y$ sono omeomorfi e connessi per archi allora i gruppi fondamentali degli spazi puntati associati $pi_1(X,x_0)$ e $pi_1(Y,y_0)$ sono ismorfi tra loro?

(è possibile che sia completamente sbagliato o che ci sia un torema simile che lo afferma ma che non ho ancora fatto, quindi siate clementi)

[killing_buddha]

Intuitivamente (ma parlo da profano) direi di sì. Dovrebbe potersi dedurre, modulo le opportune considerazioni, dal thm. 3.5 a pag. 41 di questo libro.
(Esiste un modo di disegnare diagrammi commutativi qui? Sì, vedi sotto... Ottimo, grazie!)

Si tratterebbe di mostrare che il diagramma

[tex]\xymatrix{
(X,x_0) \ar[r]^\phi\ar[d]_\pi & (Y,\phi(x_0))\ar[d]_\pi\\
\pi(X,x_0) \ar@{.>}[r]^{\phi^*} & \pi(Y,\phi(x_0))
}[/tex]

commuta per un [tex]\phi^*[/tex] che è un isomorfismo di gruppi (letta altrimenti, [tex]\phi\in\text{Hom}_{\mathbf{Top}_\bullet}(X,Y)[/tex] induce una [tex]\phi^*\in\text{Hom}_{\mathbf{Grp}}(\pi(X,x_0),\pi(Y,\phi(x_0)))[/tex]. Però non mi ero mai posto la domanda (nè avevo notato si potesse leggere così)!

[dissonance]

"killing_buddha":Esiste un modo di disegnare diagrammi commutativi qui?

Certo che si. https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#348508

[Alexp1]

"nato_pigro":
E' corretto dire che se due spazi topologici $X$ e $Y$ sono omeomorfi e connessi per archi allora i gruppi fondamentali degli spazi puntati associati $pi_1(X,x_0)$ e $pi_1(Y,y_0)$ sono ismorfi tra loro?

Si, è corretto!

[killing_buddha]

Curiosità collaterale: l'interpretazione categoriale della faccenda è quella che ho dato lì sopra oppure c'è un trucco?