Omeomofismi tra spazi topologici

[ludovica.sarandrea]

Buonasera, ho una domanda per quanto riguarda gli omeomorfismi tra spazi topologici
Molto spesso, il mio professore, per dimostrare che due spazi topologici X e Y sono omeomorfi, invece di dimostrare che la funzione che c'e' tra essi e' continua, biiettiva e ha inversa continua, dimostra che e' continua, biiettiva e aperta. Il perche' mi e' chiaro, non capisco pero' se e' possibile farlo sempre o solo in determinati casi

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

E' equivalente. Una funzione è continua quando la controimmagine di ogni aperto del codominio è un aperto del dominio. Ora se la funzione è biiettiva allora la controimmagine mediante la funzione inversa è esattamente l'immagine. Quindi richiedere che l'inversa di $f$ sia continua è equivalente a richiedere che $f$ sia aperta.