Ogni spazio vettoriale finitamente generabile possiede base.
Buongiorno.
Come da titolo sto leggendo e studiando la seguente proposizione.
Proposizione: Ogni spazio vettoriale $V$ non nullo possiede una base.
Più precisamente, ogni sistema finito di generatori di $V$ contiene una base che risulta ovviamente finita.
Ora riporto la dimostrazione dove ci sono dei punti in cui non mi è chiaro quello che si vuole dire.
Suddivido la dimostrazione a punti per non creare confusione.
Dimostrazione:
1) Siano $V ne {0}$ e $S$ un sistema finito di generatori di $V$.
Essendo $V$ non nullo, $S$ contiene vettori non nulli e quindi sistemi linearmente indipendenti, almeno quelli ${u}$ con $u in S: u ne 0$.
2) Allora consideriamo un sistema $S'$ incluso in $S$ che sia linearmente indipendente e massimale in $S$ necessariamente esiste essendo $S$ finito.
3) Se $S=S'$ allora $S$ è una base di $V$. Invece se $S'$ è incluso propriamente in $S$, si ha per ogni $u in S-S'$, il sistema $S' cup {u}$ è linearmente indipendente e, poiché $S'$ è indipendente, $u$ dipende linearmente da $S'$, dunque ogni vettore di $S$ dipende da $S'$.
4) Infine ogni vettore di $V$, in quanto dipendente da $S$, dipende anche da $S'$, dalla transitività $S'$ è un sistema di generatori di $V$ e quindi una base di $V$.
I punti che non mi sono chiari sono 1) e 2).
In 1) non mi è chiaro del perché $S$ contiene vettori non nulli, forse perché da $V$ non nullo il sistema $S$ lo possiamo scegliere in modo tale da non contenere vettori nulli ?
In 2) non mi è chiaro del perché dalla finitezza di $S$ segue la massimalità di $S'$, cioè se $S$ fosse non finito tutto questo non esisterebbe ? C'entra il lemma di Zorn ?
Come da titolo sto leggendo e studiando la seguente proposizione.
Proposizione: Ogni spazio vettoriale $V$ non nullo possiede una base.
Più precisamente, ogni sistema finito di generatori di $V$ contiene una base che risulta ovviamente finita.
Ora riporto la dimostrazione dove ci sono dei punti in cui non mi è chiaro quello che si vuole dire.
Suddivido la dimostrazione a punti per non creare confusione.
Dimostrazione:
1) Siano $V ne {0}$ e $S$ un sistema finito di generatori di $V$.
Essendo $V$ non nullo, $S$ contiene vettori non nulli e quindi sistemi linearmente indipendenti, almeno quelli ${u}$ con $u in S: u ne 0$.
2) Allora consideriamo un sistema $S'$ incluso in $S$ che sia linearmente indipendente e massimale in $S$ necessariamente esiste essendo $S$ finito.
3) Se $S=S'$ allora $S$ è una base di $V$. Invece se $S'$ è incluso propriamente in $S$, si ha per ogni $u in S-S'$, il sistema $S' cup {u}$ è linearmente indipendente e, poiché $S'$ è indipendente, $u$ dipende linearmente da $S'$, dunque ogni vettore di $S$ dipende da $S'$.
4) Infine ogni vettore di $V$, in quanto dipendente da $S$, dipende anche da $S'$, dalla transitività $S'$ è un sistema di generatori di $V$ e quindi una base di $V$.
I punti che non mi sono chiari sono 1) e 2).
In 1) non mi è chiaro del perché $S$ contiene vettori non nulli, forse perché da $V$ non nullo il sistema $S$ lo possiamo scegliere in modo tale da non contenere vettori nulli ?
In 2) non mi è chiaro del perché dalla finitezza di $S$ segue la massimalità di $S'$, cioè se $S$ fosse non finito tutto questo non esisterebbe ? C'entra il lemma di Zorn ?
Risposte
Ma non devi usare lemmi di Zorn se sei nel caso finito dimensionale. Devi invece costruire un algoritmo che, dato un sistema di generatori, estrae da esso una base. Se ne hai possibilitá, come nel tuo caso, devi sempre preferire una soluzione costruttiva ad una non costruttiva.
"dissonance":
Ma non devi usare lemmi di Zorn se sei nel caso finito dimensionale. Devi invece costruire un algoritmo che, dato un sistema di generatori, estrae da esso una base. Se ne hai possibilitá, come nel tuo caso, devi sempre preferire una soluzione costruttiva ad una non costruttiva.
Cioè parto da $S'={u}$ con $u ne 0$.
Dopodiché valuto un vettore $v in S$ per cui ottengo il nuovo $S'={u, v}$.
Quindi posso avere due casi i) $S'$ linearmente indipendente, ii) $S'$ linearmente dipendente.
Intendi questo ?
Tu hai che, se \(S\) è linearmente indipendente allora \(S' \subset S\) è anch'esso linearmente indipendente. Similmente se \(S\) è linearmente dipendente allora \(S'\supset S\) è linearmente dipendente. Quindi considera una qualsiasi catena di sottoinsiemi da un \(S_1 = \{u\}\) a \(S_n = S\) tale che \(S_{i}\subset S_{i+1}\) e \(\lvert S_i\rvert = i\).
Tu hai che \(S_1\) è linearmente indipendente (a meno che non sia \(u = 0\)) mentre \(S_n\) non lo è (se lo fosse non avresti bisogno di fare nulla: è già una base!). Allora esisterà necessariamente un \(i\) tale che \(S_i\) è indipendente e \(S_{i+1}\) non lo è. Ovviamente questo elemento sarebbe massimo sulla catena, ma non è detto che generi lo spazio \(V\). Però, se consideri tutte le catene, allora avrai un \(i\) massimo tra tutte le catene e dei sottoinsiemi massimali rispetto a quel massimo.
Dal punto di vista algoritmico (e con \(S\) finito) conviene invece togliere, ovvero prendere un elemento generato dagli altri e toglierlo dall'insieme. \(S\setminus\{u\}\) sarà ancora un insieme generatore ed è più piccolo. Necessariamente, questa operazione non potrà essere fatta all'infinito e l'insieme che troverai alla fine è sia un insieme di generatori che linearmente indipendente.
Tu hai che \(S_1\) è linearmente indipendente (a meno che non sia \(u = 0\)) mentre \(S_n\) non lo è (se lo fosse non avresti bisogno di fare nulla: è già una base!). Allora esisterà necessariamente un \(i\) tale che \(S_i\) è indipendente e \(S_{i+1}\) non lo è. Ovviamente questo elemento sarebbe massimo sulla catena, ma non è detto che generi lo spazio \(V\). Però, se consideri tutte le catene, allora avrai un \(i\) massimo tra tutte le catene e dei sottoinsiemi massimali rispetto a quel massimo.
Dal punto di vista algoritmico (e con \(S\) finito) conviene invece togliere, ovvero prendere un elemento generato dagli altri e toglierlo dall'insieme. \(S\setminus\{u\}\) sarà ancora un insieme generatore ed è più piccolo. Necessariamente, questa operazione non potrà essere fatta all'infinito e l'insieme che troverai alla fine è sia un insieme di generatori che linearmente indipendente.
@vict85
a)
b)
c)
Volevo fare il contrario, cioè partire da un elemento e via via costruirmi un sistema linearmente indipendente massimale. Ma come hai detto tu, conviene togliere.
a)
"vict85":Quando dici che esiste necessariamente, questo è vero perché posso costruirmi a partire da $i=1$ un sistema $S_i$ linearmente indipendente scegliendo opportunamente i vettori di $S$ ?
Allora esisterà necessariamente un \( i \) tale che \( S_i \) è indipendente e \( S_{i+1} \) non lo è.
b)
"vict85":Con massimo intendi rispetto all'inclusione ?
Ovviamente questo elemento sarebbe massimo sulla catena, ma non è detto che generi lo spazio \( V \).
c)
"vict85":Questo punto non mi è chiaro, cioè nei passaggi precedenti non determino tutte le catene possibili ?
Però, se consideri tutte le catene, allora avrai un \( i \) massimo tra tutte le catene e dei sottoinsiemi massimali rispetto a quel massimo.
"vict85":
Dal punto di vista algoritmico (e con \( S \) finito) conviene invece togliere, ovvero prendere un elemento generato dagli altri e toglierlo dall'insieme. \( S\setminus\{u\} \) sarà ancora un insieme generatore ed è più piccolo. Necessariamente, questa operazione non potrà essere fatta all'infinito e l'insieme che troverai alla fine è sia un insieme di generatori che linearmente indipendente.
Volevo fare il contrario, cioè partire da un elemento e via via costruirmi un sistema linearmente indipendente massimale. Ma come hai detto tu, conviene togliere.
"Yuyu_13":
@vict85
a) Quando dici che esiste necessariamente, questo è vero perché posso costruirmi a partire da $i=1$ un sistema $S_i$ linearmente indipendente scegliendo opportunamente i vettori di $S$ ?
No, semplicemente i sottoinsiemi limitati di \(\mathbb{N}\) hanno sempre massimo.
"Yuyu_13":
b) Con massimo intendi rispetto all'inclusione ?
Sì, quello trovato nel punto precedente.
"Yuyu_13":
c) Questo punto non mi è chiaro, cioè nei passaggi precedenti non determino tutte le catene possibili ?
No, nel punto precedente stavo considerando uno specifico percorso nel reticolo dei sottogruppi di \(S\). A rigore il reticolo comprende anche \(\emptyset\), ma lo stavo ignorando per comodità. Essendo \(S\) finito, anche \(\wp(S)\) lo è, come anche l'insieme dei percorsi in questione. Prima ho definito una mappa da un percorso a \([n]\) e per il discorso fatto prima sugli insiemi limitati di \(\mathbb{N}\), l'immagine di questa mappa ha un massimo.
"Yuyu_13":
[quote="vict85"]
Dal punto di vista algoritmico (e con \( S \) finito) conviene invece togliere, ovvero prendere un elemento generato dagli altri e toglierlo dall'insieme. \( S\setminus\{u\} \) sarà ancora un insieme generatore ed è più piccolo. Necessariamente, questa operazione non potrà essere fatta all'infinito e l'insieme che troverai alla fine è sia un insieme di generatori che linearmente indipendente.
Volevo fare il contrario, cioè partire da un elemento e via via costruirmi un sistema linearmente indipendente massimale. Ma come hai detto tu, conviene togliere.[/quote]
Sì, molto più lineare.
"vict85":No, semplicemente i sottoinsiemi limitati di \(\mathbb{N}\) hanno sempre massimo.[/quote]
[quote="Yuyu_13"]@vict85
a) Quando dici che esiste necessariamente, questo è vero perché posso costruirmi a partire da $i=1$ un sistema $S_i$ linearmente indipendente scegliendo opportunamente i vettori di $S$ ?
Questo si potrebbe scrivere come $X={i in N: S_i \qquad mbox{indipendente}} subseteq NN$ infine osservare, come hai già fatto, che $X$ è un sottoinsieme limitato di $NN$, quindi ha massimo.
"vict85":No, nel punto precedente stavo considerando uno specifico percorso nel reticolo dei sottogruppi di \(S\). A rigore il reticolo comprende anche \(\emptyset\), ma lo stavo ignorando per comodità. Essendo \(S\) finito, anche \(\wp(S)\) lo è, come anche l'insieme dei percorsi in questione. Prima ho definito una mappa da un percorso a \([n]\) e per il discorso fatto prima sugli insiemi limitati di \(\mathbb{N}\), l'immagine di questa mappa ha un massimo.[/quote] In altre parole vuoi dire che tra tutti i percorsi possibili, c'è ne uno il quale è collegato con tutti ed è al di sopra tutti ? Scusa la poca formalità, ma qui occorrerebbe un disegnino
[quote="Yuyu_13"]c) Questo punto non mi è chiaro, cioè nei passaggi precedenti non determino tutte le catene possibili ?
"vict85":
[quote="Yuyu_13"]
Dal punto di vista algoritmico (e con \( S \) finito) conviene invece togliere, ovvero prendere un elemento generato dagli altri e toglierlo dall'insieme. \( S\setminus\{u\} \) sarà ancora un insieme generatore ed è più piccolo. Necessariamente, questa operazione non potrà essere fatta all'infinito e l'insieme che troverai alla fine è sia un insieme di generatori che linearmente indipendente.
Volevo fare il contrario, cioè partire da un elemento e via via costruirmi un sistema linearmente indipendente massimale. Ma come hai detto tu, conviene togliere.
Sì, molto più lineare.[/quote]
"Yuyu_13":
In altre parole vuoi dire che tra tutti i percorsi possibili, c'è ne uno il quale è collegato con tutti ed è al di sopra tutti ? Scusa la poca formalità, ma qui occorrerebbe un disegnino
No semplicemente che esistono percorsi che passano per basi. Mi sa che ho complicato inutilmente il discorso tirando fuori i reticoli.
Ora non ho il libro di algebra a portato di mano....ho altro.. sto cenando 
Mi rileggo questa parte sui reticoli, catena e ecc... e vediamo come va
Mi rileggo questa parte sui reticoli, catena e ecc... e vediamo come va
Prima di entrare nel dettaglio, la dimostrazione della proposizione si può suddividere in due parti.
La prima parte, quella riguardante il mio blocco, ossia dove si dice che
Esistenza: ogni insieme finito di generatori di uno spazio vettoriale contiene un insieme massimale di vettori linearmente indipendente.
Invece la seconda parte dice che dato
un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendente di un insieme di generatori risulta essere una base.
In tal caso prendo $S={u_1, u_2, ...., u_k} subseteq V$ dove $S$ è un sistema finito di generatori.
Considero $P(S)={X: X subseteq S}$ il quale è un insieme finito, per l'esattezza $2^k$.
La coppia $(P(S), subseteq )$ è una catena.
Ora devo riconoscere che in $P(S)$ sono presenti elementi massimali, cioè esiste $X' in P(S)$ tale che non esiste alcun $Y in P(S)$ per cui $X'subseteqY$ e $X^{\prime}$ sia linearmente indipendente.
Ma essendo $P(S)$ finito ho l'esistenza di elementi massimali, in particolare modo essendo una catena, il massimale è un massimo, quindi anche un unico.
Non so se ho scritto cose corrette.
La prima parte, quella riguardante il mio blocco, ossia dove si dice che
Esistenza: ogni insieme finito di generatori di uno spazio vettoriale contiene un insieme massimale di vettori linearmente indipendente.
Invece la seconda parte dice che dato
un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendente di un insieme di generatori risulta essere una base.
In tal caso prendo $S={u_1, u_2, ...., u_k} subseteq V$ dove $S$ è un sistema finito di generatori.
Considero $P(S)={X: X subseteq S}$ il quale è un insieme finito, per l'esattezza $2^k$.
La coppia $(P(S), subseteq )$ è una catena.
Ora devo riconoscere che in $P(S)$ sono presenti elementi massimali, cioè esiste $X' in P(S)$ tale che non esiste alcun $Y in P(S)$ per cui $X'subseteqY$ e $X^{\prime}$ sia linearmente indipendente.
Ma essendo $P(S)$ finito ho l'esistenza di elementi massimali, in particolare modo essendo una catena, il massimale è un massimo, quindi anche un unico.
Non so se ho scritto cose corrette.
No, ma secondo me ti sto confondendo e basta. \((\wp(S), \subseteq)\) non è una catena, è semplicemente un insieme con un ordine parziale. Una catena in \(\wp(S)\) è una successione finita[nota]la finitezza è legata al fatto che \(S\) è finito.[/nota] \(\{X_i\}\) di elementi di \(\wp(S)\) tali che \(X_1\subset \dotsb \subset X_l\). Io avevo considerato catene particolari ma in realtà si può lavorare con catene qualsiasi. La differenza è che vanno considerati i casi in cui tutta la catena è linearmente indipendente oppure tutta la catena è linearmente dipendente.
Insomma, si tratta di fatto del lemma di Zorn per un insieme finito (che non necessita dell'assioma della scelta). Nella prima parte dimostro che le catene hanno maggioranti e nella seconda affermo che \(\wp S\) ha elementi massimali portando il problema nell'insieme dei naturali (usando la cardinalità dell'insieme).
Insomma, si tratta di fatto del lemma di Zorn per un insieme finito (che non necessita dell'assioma della scelta). Nella prima parte dimostro che le catene hanno maggioranti e nella seconda affermo che \(\wp S\) ha elementi massimali portando il problema nell'insieme dei naturali (usando la cardinalità dell'insieme).
"vict85":
\( (\wp(S), \subseteq) \) non è una catena
Si hai ragione, ho sbagliato.
Forse il problema sta qui:
"vict85":
Io avevo considerato catene particolari ma in realtà si può lavorare con catene qualsiasi. La differenza è che vanno considerati i casi in cui tutta la catena è linearmente indipendente oppure tutta la catena è linearmente dipendente.
cioè si devono prendere prima tutti i sistemi linearmente indipendenti di $S$ e dopodiché applicare il concetto di massimalità ?
"vict85":
Insomma, si tratta di fatto del lemma di Zorn per un insieme finito (che non necessita dell'assioma della scelta). Nella prima parte dimostro che le catene hanno maggioranti e nella seconda affermo che \( \wp S \) ha elementi massimali portando il problema nell'insieme dei naturali (usando la cardinalità dell'insieme).
Si, vuoi provare prima che $(P(S), subseteq)$ è induttivo, dopodiché applichi il lemma di Zorn al finito?
Però per fare questo, penso, che si devono opportunamente scegliere tra gli elementi di $P(S)$ quelli linearmente indipendenti.
"Yuyu_13":
il lemma di Zorn al finito?
Questo fa male agli occhi vederlo. Secondo me dovresti pensare a come scrivere un *algoritmo* che costruisce una base. Qualcosa di concreto, programmabile. Il lemma di Zorn puó sembrare sexy quando si é alle prime armi, ma in realtá fornisce molte meno informazioni di un algoritmo concreto.
"dissonance":
[quote="Yuyu_13"] il lemma di Zorn al finito?
Questo fa male agli occhi vederlo. [/quote] ma perché non si può usare oppure è limitativo usarlo nel caso in cui $S$ sia finito ?
Per quanto riguarda l'algoritmo già l'ha proposto @vict85.
Si può usare, ma si tende ad evitare l'uso dell'assioma della scelta quando non è necessario. Tra l'altro, io non lo stavo usando, stavo solo dimostrando la stessa cosa senza usarlo. L'ho citato solo per farti capire cosa stessi facendo.
Comunque, alla fine un metodo per estrarre da un sistema finito di generatori un sistema massimale, può essere:
Sia $S$ sistema di generatori di uno spazio vettoriale non nullo $V$.
1) Se $S$ è linearmente indipendente allora $S$ è una base.
2) Se $S$ non è linearmente indipendente allora esiste un vettore $u$ in $S$ linearmente dipendente dai rimanenti, quindi $S_1=S-{u}$ è un sistema di generatori.
A partire da $S_1$ si ripete il ragionamento.
Questo si conclude dopo un numero finito di passi essendo $S$ finito.
Può essere corretto ?
Sia $S$ sistema di generatori di uno spazio vettoriale non nullo $V$.
1) Se $S$ è linearmente indipendente allora $S$ è una base.
2) Se $S$ non è linearmente indipendente allora esiste un vettore $u$ in $S$ linearmente dipendente dai rimanenti, quindi $S_1=S-{u}$ è un sistema di generatori.
A partire da $S_1$ si ripete il ragionamento.
Questo si conclude dopo un numero finito di passi essendo $S$ finito.
Può essere corretto ?
Si
"vict85":quindi questo aspetto è stato risolto.
Dal punto di vista algoritmico (e con \(S\) finito) conviene invece togliere, ovvero prendere un elemento generato dagli altri e toglierlo dall'insieme. \(S\setminus\{u\}\) sarà ancora un insieme generatore ed è più piccolo. Necessariamente, questa operazione non potrà essere fatta all'infinito e l'insieme che troverai alla fine è sia un insieme di generatori che linearmente indipendente.
"vict85":
Quindi considera una qualsiasi catena di sottoinsiemi da un \(S_1 = \{u\}\) a \(S_n = S\) tale che \(S_{i}\subset S_{i+1}\) e \(\lvert S_i\rvert = i\).
Tu hai che \(S_1\) è linearmente indipendente (a meno che non sia \(u = 0\)) mentre \(S_n\) non lo è (se lo fosse non avresti bisogno di fare nulla: è già una base!). Allora esisterà necessariamente un \(i\) tale che \(S_i\) è indipendente e \(S_{i+1}\) non lo è. Ovviamente questo elemento sarebbe massimo sulla catena, ma non è detto che generi lo spazio \(V\). Però, se consideri tutte le catene, allora avrai un \(i\) massimo tra tutte le catene e dei sottoinsiemi massimali rispetto a quel massimo.
Però questo non mi è chiaro, se ti va di spiegarmelo se no non fa nulla.
Alla fine grazie ad entrambi per la disponibilità
Mi sono reso conto ora che mi sono complicato inutilmente la vita.
Sia \(A\) un insieme finito e parzialmente ordinato e \(B\) un suo sottoinsieme. Per ogni \(b\in B\), l'insieme \(C_b = B\cap\{ c\in A : b \lneqq c \}\) è finito e \(\forall c\in C_b,\, C_c \subsetneqq C_b\) (per via della proprietà transitiva dell'ordine)[nota]La formula funziona anche con \(C_b = \emptyset\) perché in quel caso non c'è alcun elemento su cui fare la comparazione.[/nota]. Gli insiemi massimali sono gli elementi con \(C_b = \emptyset\) ed esistono sempre. Infatti, se per assurdo si avesse \(\forall b\in B,\,C_b \neq \emptyset\) allora potrei costruire una catena infinita di sottoinsiemi \(\{C_i\}\), dove \(C_0 = C_b\) per un qualche \(b\in B\) e \(C_i = C_c\) per un qualche \(c\in C_{i-1}\). Ma questo è assurdo perché \(C_i\subsetneqq C_{i-1}\) per ogni \(i\) e \(C_b\) è finito. Puoi vederlo come uno Zorn finito, ma in realtà è anche più forte.
Quindi, nel caso dell'essere linearmente indipendenti, puoi sempre considerare tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti di \(S\), quindi rimuovere quelli che sono contenuti in altri sottoinsiemi linearmente indipendenti. Tutti gli insiemi che rimangono sono basi.
Sia \(A\) un insieme finito e parzialmente ordinato e \(B\) un suo sottoinsieme. Per ogni \(b\in B\), l'insieme \(C_b = B\cap\{ c\in A : b \lneqq c \}\) è finito e \(\forall c\in C_b,\, C_c \subsetneqq C_b\) (per via della proprietà transitiva dell'ordine)[nota]La formula funziona anche con \(C_b = \emptyset\) perché in quel caso non c'è alcun elemento su cui fare la comparazione.[/nota]. Gli insiemi massimali sono gli elementi con \(C_b = \emptyset\) ed esistono sempre. Infatti, se per assurdo si avesse \(\forall b\in B,\,C_b \neq \emptyset\) allora potrei costruire una catena infinita di sottoinsiemi \(\{C_i\}\), dove \(C_0 = C_b\) per un qualche \(b\in B\) e \(C_i = C_c\) per un qualche \(c\in C_{i-1}\). Ma questo è assurdo perché \(C_i\subsetneqq C_{i-1}\) per ogni \(i\) e \(C_b\) è finito. Puoi vederlo come uno Zorn finito, ma in realtà è anche più forte.
Quindi, nel caso dell'essere linearmente indipendenti, puoi sempre considerare tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti di \(S\), quindi rimuovere quelli che sono contenuti in altri sottoinsiemi linearmente indipendenti. Tutti gli insiemi che rimangono sono basi.
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