Numero trasposizioni
Ciao, amici! Trovo scritto sul Sernesi, Geometria I, p. 86 dell'edizione Bollati Boringhieri del 2000 che, data "la matrice $C$ ottenuta da $A$ con opportune trasposizioni delle righe in modo che la $i_1$-esima riga, la $i_2$-esima riga ecc. di $A$ siano rispettivamente prima, seconda, ..., $k$-esima riga di $C$", si calcola il numero di inversioni effettuate come
\[(i_1-1)+(i_2-1)+...+(i_k-1)=i_1+...+i_k-(1+...+k)\]
mentre io calcolerei che, per spostare la riga $i_n$ alla posizione $n$, sono necessarie $i_n-n$ trasposizioni di volta in volta con la riga soprastante. Oltretutto così contando riesco a dare un senso ad una notazione \((i_1-1)+(i_2-2)+...+(i_k-k)=i_1+...+i_k-(1+...+k)\) interpretandola come $\sum_{j=1}^{k} (i_j-j) = \sum_{j=1}^{k} i_j - \sum_{j=1}^{k} j$, mentre a me sembrerebbe piuttosto che il membro a sinistra nell'uguaglianza del libro debba valere \((i_1-1)+(i_2-1)+...+(i_k-1)=i_1+...+i_k-k\).
Sto dando i numeri?
Una cosa analoga la trovo scritta alla stessa pagina più in alto, a proposito di trasposizioni di colonna, ma lì c'è un ovvio errore di stampa in \((j_1-1)+(j_2-1)+(j_k-1)=j_1+...+j_k-(1+...+k)\) senza puntini tra gli addendi a sinistra.
Grazie di cuore a chi mi aiuterà a capire il problema!
P.S.: Oltretutto la questione non mi sembra insignificante neppure in relazione al contesto descritto nel libro, in cui \((-1)^{i_1+...+i_k-(1+...+k)}\) è il segno della permutazione e mi pare che \(\sum_{j=1}^{k} j=\frac{k^2+k}{2}\) e \(k\) non abbiano necessariamente la stessa parità...
\[(i_1-1)+(i_2-1)+...+(i_k-1)=i_1+...+i_k-(1+...+k)\]
mentre io calcolerei che, per spostare la riga $i_n$ alla posizione $n$, sono necessarie $i_n-n$ trasposizioni di volta in volta con la riga soprastante. Oltretutto così contando riesco a dare un senso ad una notazione \((i_1-1)+(i_2-2)+...+(i_k-k)=i_1+...+i_k-(1+...+k)\) interpretandola come $\sum_{j=1}^{k} (i_j-j) = \sum_{j=1}^{k} i_j - \sum_{j=1}^{k} j$, mentre a me sembrerebbe piuttosto che il membro a sinistra nell'uguaglianza del libro debba valere \((i_1-1)+(i_2-1)+...+(i_k-1)=i_1+...+i_k-k\).
Sto dando i numeri?
Una cosa analoga la trovo scritta alla stessa pagina più in alto, a proposito di trasposizioni di colonna, ma lì c'è un ovvio errore di stampa in \((j_1-1)+(j_2-1)+(j_k-1)=j_1+...+j_k-(1+...+k)\) senza puntini tra gli addendi a sinistra.
Grazie di cuore a chi mi aiuterà a capire il problema!
P.S.: Oltretutto la questione non mi sembra insignificante neppure in relazione al contesto descritto nel libro, in cui \((-1)^{i_1+...+i_k-(1+...+k)}\) è il segno della permutazione e mi pare che \(\sum_{j=1}^{k} j=\frac{k^2+k}{2}\) e \(k\) non abbiano necessariamente la stessa parità...
Risposte
Ciao Davide, a me quanto scritto sul libro sembra errato.
Comunque ci tengo a precisare che non si tratta di trasposizioni in quanto non si vanno a portare righe ad essere colonne e/o viceversa. Parlerei piuttosto di spostamenti.
In ogni caso, tornando a quanto scritto sul tuo libro, trovo che sia sbagliata l'equazione:
$(i_1-1)+(i_2-1)+...(i_k-1)=i_1+i_2+...+i_k-(1+...+k)$.
Ragioniamo: per portare la riga $i_1$ al primo posto sono necessari $(i_1-1)$ spostamenti.
Ma allora, dato che la riga $i_2$ che è successiva alla riga $i_1$ e che dovrà trovarsi non più al primo posto, ma al secondo, significa necessariamente che anche questa riga avrà bisogno dello stesso numero di spostamenti di quella precedente.
D'altra parte stiamo spostando la riga inferiore di uno per arrivare ad una riga di destinazione inferiore di uno.
Ciò significa che, generalizzando, per spostare $n$ righe con questo procedimento saranno necessari $n(i_1-1)$ spostamenti.
Quindi, hai ragione tu, la scrittura giusta dovrebbe essere:
$(i_1-1)+(i_2-2)+...(i_k-k)=i_1+i_2+...+i_k-(1+...+k)$, o in alternativa $k(i_1-1)$.
Tra l'altro la scrittura del libro è doppiamente sbagliata, perchè a secondo membro $(1+...+k)$ dovrebbe essere, al limite, $k$ (nonostante sarebbe sbagliato comunque).
Comunque ci tengo a precisare che non si tratta di trasposizioni in quanto non si vanno a portare righe ad essere colonne e/o viceversa. Parlerei piuttosto di spostamenti.
In ogni caso, tornando a quanto scritto sul tuo libro, trovo che sia sbagliata l'equazione:
$(i_1-1)+(i_2-1)+...(i_k-1)=i_1+i_2+...+i_k-(1+...+k)$.
Ragioniamo: per portare la riga $i_1$ al primo posto sono necessari $(i_1-1)$ spostamenti.
Ma allora, dato che la riga $i_2$ che è successiva alla riga $i_1$ e che dovrà trovarsi non più al primo posto, ma al secondo, significa necessariamente che anche questa riga avrà bisogno dello stesso numero di spostamenti di quella precedente.
D'altra parte stiamo spostando la riga inferiore di uno per arrivare ad una riga di destinazione inferiore di uno.
Ciò significa che, generalizzando, per spostare $n$ righe con questo procedimento saranno necessari $n(i_1-1)$ spostamenti.
Quindi, hai ragione tu, la scrittura giusta dovrebbe essere:
$(i_1-1)+(i_2-2)+...(i_k-k)=i_1+i_2+...+i_k-(1+...+k)$, o in alternativa $k(i_1-1)$.
Tra l'altro la scrittura del libro è doppiamente sbagliata, perchè a secondo membro $(1+...+k)$ dovrebbe essere, al limite, $k$ (nonostante sarebbe sbagliato comunque).
Grazie di cuore, Demostene92!!!
Mi rincuora sapere di non essere l'unico a pensarla così. In effetti non troverei alcun senso a quel $-(1+...+k)$ se non fosse $-\sum_{j=1}^{k}j$.
Gli errori di stampa in un libro di matematica sono causa di emicranie e disperazione per me, anche se credo che nessun testo ne sia privo: mi viene da mettere in dubbio tutto ciò di cui ero certo e pregiudicano spesso la comprensione di nuovi argomenti, perché se ci si convince di qualcosa di sbagliato nelle premesse di qualcos'altro è un bel problema... non è come studiando discipline "meno esatte" in cui gli argomenti trattati possono anche essere anche piuttosto disgiunti e soprattutto se in una frase c'è un errore ortografico normalmente non ne pregiudica la comprensione. Se poi ci aggiungo che studio da solo per diletto e non ho professori cui chiedere delucidazioni (almeno al momento, anche se non escludo di cominciare a girovagare per San Martino
in futuro, dopo essermi fatto qualche base, per non dover passare 30 anni o più all'università, visto che lavoro)...
Per quanto riguarda il termine trasposizione, così il Sernesi definisce una permutazione che è un ciclo di lunghezza 2, definizione di una trasposizione naturalmente diversa dalla trasposizione che manda $A$ in $^t A$...
Grazie ancora!!!!!
Mi rincuora sapere di non essere l'unico a pensarla così. In effetti non troverei alcun senso a quel $-(1+...+k)$ se non fosse $-\sum_{j=1}^{k}j$.
Gli errori di stampa in un libro di matematica sono causa di emicranie e disperazione per me, anche se credo che nessun testo ne sia privo: mi viene da mettere in dubbio tutto ciò di cui ero certo e pregiudicano spesso la comprensione di nuovi argomenti, perché se ci si convince di qualcosa di sbagliato nelle premesse di qualcos'altro è un bel problema... non è come studiando discipline "meno esatte" in cui gli argomenti trattati possono anche essere anche piuttosto disgiunti e soprattutto se in una frase c'è un errore ortografico normalmente non ne pregiudica la comprensione. Se poi ci aggiungo che studio da solo per diletto e non ho professori cui chiedere delucidazioni (almeno al momento, anche se non escludo di cominciare a girovagare per San Martino
in futuro, dopo essermi fatto qualche base, per non dover passare 30 anni o più all'università, visto che lavoro)...Per quanto riguarda il termine trasposizione, così il Sernesi definisce una permutazione che è un ciclo di lunghezza 2, definizione di una trasposizione naturalmente diversa dalla trasposizione che manda $A$ in $^t A$...
Grazie ancora!!!!!
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