Numeri complessi
ad un compito di geometria mi è capitato questo tipo di domanda che non so come si posso capire e risolvere, spero che mi date una mano
Nel campo finito Z/5 si ha
1) [tex]3^2=3[/tex]
2)2-3=5
3)5=1
4)3*4=4
5)3*4=2
Nel campo finito Z/5 si ha
1) [tex]3^2=3[/tex]
2)2-3=5
3)5=1
4)3*4=4
5)3*4=2
Risposte
capisco che ti sia capitata in un compito di geometria, ed è strana perchè questa è una questione di algebra astratta (per differenziare da quella lineare).
comunque per quello che ti può interessare, la risposta giusta è la 5, ovvero $3*4=2$ in $ZZ$$/$$5$
ma immagino che ti interessi perchè..
è lunga da spiegare, non hai mai fatto proprio nulla sugli $ZZ$$/$$n$ ?
comunque per quello che ti può interessare, la risposta giusta è la 5, ovvero $3*4=2$ in $ZZ$$/$$5$
ma immagino che ti interessi perchè..
è lunga da spiegare, non hai mai fatto proprio nulla sugli $ZZ$$/$$n$ ?
...purtroppo no...
Mmm non capisco però cosa c'entrino i numeri complessi con $ZZ_5$.
Questa è aritmetica modulare, detto volgarmente siamo in un anello in cui i numeri vengono identificati con i resti della divisione per $5$. Pertanto avremo solamente $5$ elementi, appunto i possibili resti di una divisione per $5$, ovvero $1,2,3,4,0$
A voler essere rigorosi dovremmo introdurre una relazione, che si prova essere di equivalenza, $-=$ secondo cui $a -= b mod n hArr a-b=hn$ con $h in ZZ$.
Quando abbiamo una relazione di equivalenza possiamo allora definire immediatamente delle classi di equivalenza, i cui rappresentati canonici sono appunto $[1]_5, [2]_5, [3]_5,[4]_5,[0]_5$.
Ora con abuso di notazione identificherò con $1,2,3,4,0$ le rispettive classi di equivalenza.
L'aritmetica di questo anello $(ZZ_5,+,*)$ è "uguale" a quella nostra, ricordandosi semplicemente che lavorando con classi possiamo passare con disinvolutara tra un elemento ed un altro della STESSA classe.
Secondo quanto scritto sopra è facile vedere che $1,6$ sono in relazione, infatti $1-6=-5=(-1)5$ pertanto $[1]_5=[6]_5$.
Quindi, risolvendo il primo $3*3=9$. Adesso si tratta di vedere a quale classe appartiene $9$ e per far ciò osserviamo che $9-4=5$, pertanto $9 in [4]_5$ che altro non che la il resto della divisione di $9$ per $5$.
Spero di esser stato chiaro. Prova a svolgere gli altri punti e se hai dubbi cercherò di essere più chiaro!
Questa è aritmetica modulare, detto volgarmente siamo in un anello in cui i numeri vengono identificati con i resti della divisione per $5$. Pertanto avremo solamente $5$ elementi, appunto i possibili resti di una divisione per $5$, ovvero $1,2,3,4,0$
A voler essere rigorosi dovremmo introdurre una relazione, che si prova essere di equivalenza, $-=$ secondo cui $a -= b mod n hArr a-b=hn$ con $h in ZZ$.
Quando abbiamo una relazione di equivalenza possiamo allora definire immediatamente delle classi di equivalenza, i cui rappresentati canonici sono appunto $[1]_5, [2]_5, [3]_5,[4]_5,[0]_5$.
Ora con abuso di notazione identificherò con $1,2,3,4,0$ le rispettive classi di equivalenza.
L'aritmetica di questo anello $(ZZ_5,+,*)$ è "uguale" a quella nostra, ricordandosi semplicemente che lavorando con classi possiamo passare con disinvolutara tra un elemento ed un altro della STESSA classe.
Secondo quanto scritto sopra è facile vedere che $1,6$ sono in relazione, infatti $1-6=-5=(-1)5$ pertanto $[1]_5=[6]_5$.
Quindi, risolvendo il primo $3*3=9$. Adesso si tratta di vedere a quale classe appartiene $9$ e per far ciò osserviamo che $9-4=5$, pertanto $9 in [4]_5$ che altro non che la il resto della divisione di $9$ per $5$.
Spero di esser stato chiaro. Prova a svolgere gli altri punti e se hai dubbi cercherò di essere più chiaro!
sinceramente mistake non ci ho capito un h...
Partiamo con calma:
Fissiamo un intero $ninZZ$. Definiamo una relazione di equivalenza $R$ secondo cui $aRb$ se e solo se $a-b=hn$ con $h in ZZ$.
Quando abbiamo una relazione di equivalenza possiamo naturalmente definire delle classi di equivalenza, ovvero una collezione di oggetti ( in questo caso numero) che sono in relazione tra loro.
In questa relazione due numeri apparterranno alla stessa classe se e solo se la loro differenza è un multiplo di $n$.
Nel tuo caso $n=5 in ZZ$. $15R0$ poichè $15-0=3*5$. $6R1$ essendo $6-1=1*5$, mentre $12$ non è in relazione con $4$ poichè $12-4=8$ che non può essere scritto come $5*h$ con $h in ZZ$.
Pertanto $15,0$ apparterranno alla stessa classe, $1,6$ apparterranno alla stessa classe, $12$ sicuramente non apparterrà alla classe di $4$, ma anche $15$ non apparterrà alla stessa classe di $6$ poichè $15-6=9 ne h*5$, e di conseguenza $1$ non sarà in relazione con $15$.
Poichè, avrai capito, gli elementi di una classe sono infiniti si scelgono dei rappresentati canonici, ovvero un elemento per ogni classe che possa rappresentare tutti gli elementi che vi appartengono. Si è scelto $[0]_5,[1]_5,[2]_5,[3]_5,[4]_5$,.
Tutto chiaro sin qui?
Fissiamo un intero $ninZZ$. Definiamo una relazione di equivalenza $R$ secondo cui $aRb$ se e solo se $a-b=hn$ con $h in ZZ$.
Quando abbiamo una relazione di equivalenza possiamo naturalmente definire delle classi di equivalenza, ovvero una collezione di oggetti ( in questo caso numero) che sono in relazione tra loro.
In questa relazione due numeri apparterranno alla stessa classe se e solo se la loro differenza è un multiplo di $n$.
Nel tuo caso $n=5 in ZZ$. $15R0$ poichè $15-0=3*5$. $6R1$ essendo $6-1=1*5$, mentre $12$ non è in relazione con $4$ poichè $12-4=8$ che non può essere scritto come $5*h$ con $h in ZZ$.
Pertanto $15,0$ apparterranno alla stessa classe, $1,6$ apparterranno alla stessa classe, $12$ sicuramente non apparterrà alla classe di $4$, ma anche $15$ non apparterrà alla stessa classe di $6$ poichè $15-6=9 ne h*5$, e di conseguenza $1$ non sarà in relazione con $15$.
Poichè, avrai capito, gli elementi di una classe sono infiniti si scelgono dei rappresentati canonici, ovvero un elemento per ogni classe che possa rappresentare tutti gli elementi che vi appartengono. Si è scelto $[0]_5,[1]_5,[2]_5,[3]_5,[4]_5$,.
Tutto chiaro sin qui?
si
Ora si introducono due operazioni $+,*$ definite nel modo più naturale possibile cioè $[a]+=[a+b]$ e $[a]*=[ab]$. Si prova ovviamente che queste operazioni sono ben poste e che definiscono su $ZZ_5$ una struttura di anello. (Sai cos'è un anello?!).
Ora non ti rimane altro che fare i vari calcoli, cioè $3*3=9$. Verifichiamo per $9$ qual è il suo rappresentante canonico. E' forse in relazione con $1$? Verifichiamolo $9-1=8 ne h*5$, quindi sicuramente non è in relazione con $1$... proseguendo analogamente verificherai che $9R4$ infatti $9-4=5=1*5$ pertanto $[9]_5=[4]_5$.
Ora questo può apparire un lavoro lungo e difficile, in realtà è semplicissimo poiché l'aritmetica modulare altro non fa che identificare i numeri con i resti della divisione per $n$ infatti dire $a-b=hn$ è equivalente a dire che $a=hn+b$ ovvero $h$ quoziente della divisione per $n$ di $a$ e $b$ resto.
Tutto chiaro ?
Ora non ti rimane altro che fare i vari calcoli, cioè $3*3=9$. Verifichiamo per $9$ qual è il suo rappresentante canonico. E' forse in relazione con $1$? Verifichiamolo $9-1=8 ne h*5$, quindi sicuramente non è in relazione con $1$... proseguendo analogamente verificherai che $9R4$ infatti $9-4=5=1*5$ pertanto $[9]_5=[4]_5$.
Ora questo può apparire un lavoro lungo e difficile, in realtà è semplicissimo poiché l'aritmetica modulare altro non fa che identificare i numeri con i resti della divisione per $n$ infatti dire $a-b=hn$ è equivalente a dire che $a=hn+b$ ovvero $h$ quoziente della divisione per $n$ di $a$ e $b$ resto.
Tutto chiaro ?
si grazie mille
Bene ora prova a risolvere qui l'esercizio così potremo correggerlo! 
ciao anche io avevo nel compito un esercizio uguale che non ho saputo risolvere...allora vediamo se ho capito
praticamente per risolvere l'esercizio devo fare:
3^2 = 9 modulo 5 = 1 quindi la prima è sbagliata,3*4=12 modulo 5 =2 quindi la risposta giusta è la 5°.
Giusto?
praticamente per risolvere l'esercizio devo fare:
3^2 = 9 modulo 5 = 1 quindi la prima è sbagliata,3*4=12 modulo 5 =2 quindi la risposta giusta è la 5°.
Giusto?
No! $9 \equiv 4 mod 5$
scusa ma allora ci ho capito veramente poco...uffa questa roba non si è nemmeno mai fatta a lezione e sul libro non c'è nulla...non capisco cosa ci faccia nell'esame di geometria e algebra lineare 
è facile, se rileggi quanto scritto prima vedi facilmente che $9-1=8 ne h5$ con $h in ZZ$. Mentre è palese $9-4=5=1*5$
Tra l'altro il "trucco" è identificare i numeri con i resti della loro divisione per $5$. Infatti $9$ diviso $5$ dà resto $4$ e non $1$
Quindi ad esempio $100000000001$ sarà congruo a $1$ modulo $5$
Tra l'altro il "trucco" è identificare i numeri con i resti della loro divisione per $5$. Infatti $9$ diviso $5$ dà resto $4$ e non $1$
Quindi ad esempio $100000000001$ sarà congruo a $1$ modulo $5$
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