Numeri complessi (1+i)^100000

[Marina571]

Salve ho questo esercizio come compito ma non mi sembra di aver ben chiaro come risolverlo..
So già che bisogna trasformarlo in forma trigonometrica e l'ho fatto e mi veniva $ sqrt(2)^100000[(sqrt(2))/2+i(sqrt2/2)] $
E poi ho risolto così :
$ 25sqrt(160)[(sqrt(2))/2+i(sqrt2/2)] $
E come risultato finale mi veniva 4000+i4000 ma penso sia sbagliato

[Pappappero1]

Non capisco bene cosa hai fatto.

Prova a scrivere il tuo numero complesso in forma polare $z = r e^{2pi i \cdot t}$. Osserverai che nel tuo caso $r = \sqrt{2}$ come hai calcolato e $t = 1/8$ (che e' piu' facile da maneggiare rispetto all'espansione in coordinate cartesiane con $sin$ e $cos$ di $pi/4$).

Cosi' quando fai la $n$-esima potenza ottieni
\[
z^n = r^n e^{2 \pi i \cdot nt}.
\]
A questo punto ti basta un pochina di algebra modulare per capire cosa scrivere al posto di $nt$.

[Marina571]

Grazie pappappero però noi non abbiamo ancora studiato la forma polare.. E la nostra prof ha chiesto di risolverla trasformandola in forma trigonometrica...
Il ragionamento che ho applicato è questo: sapendo che z=a+1i è uguale al suo modulo moltiplicato per il coseno di alfa + il seno di alfa i

[Pappappero1]

La forma trigonometrica di cui parli e' essenzialmente la stessa della forma polare che ho scritto io. L'unica differenza e' che io non ho sviluppato $e^{2\pi i t}$ e ho utilizzato solo le proprieta' delle potenze. Per evitare questo prova a dimostrare (magari per induzione) che
\[
[\cos(\theta) + i \sin(\theta) ]^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta).
\]