Nucleo e Omomorfismo nullo?!
Stamattina studiando mi sono accorto di non aver capito una cosa...
l'omomorfismo nullo e' il nucleo?
Cioe' dire omomorfismo nullo o nucleo e' la stessa cosa? oppure sono due cose diverse?
insomma se il nucleo e' un'applicazione lineare che ad ogni elemento di uno spazio vettoriale associa il vettore nullo, l'omomorfismo nullo fa la stessa cosa?
per omomorfismo nullo intendo l'elemento neutro rispetto alla somma di due applicazioni lineari...
l'omomorfismo nullo e' il nucleo?
Cioe' dire omomorfismo nullo o nucleo e' la stessa cosa? oppure sono due cose diverse?
insomma se il nucleo e' un'applicazione lineare che ad ogni elemento di uno spazio vettoriale associa il vettore nullo, l'omomorfismo nullo fa la stessa cosa?
per omomorfismo nullo intendo l'elemento neutro rispetto alla somma di due applicazioni lineari...
Risposte
noto un poco di confusione. Il nucleo è un sottospazio ( se ci stiamo riferendo a spazi vettoriali...) l'omomorfismo nullo invece è un'applicazione.
Mi spiego , siano $V_1$ e $V_2$ spazi vettoriali su $\mathbb{K}$
Un'omomorfismo tra questi spazi è un'applicazione
$f : V_1->V_2$ tale che $AA v, v' in V : f(v+v')=f(v)+f(v')$ e $AA \lambda in \mathbb{K} , v in V_1 : f(\lambda v) = \lambda f(v)$ (tale omomorfismo, prende il nome di applicazione lineare)
L'omomorfismo nullo (prova che è un omomorfismo!) è
l'applicazione $0 : V_1->V_2$ tale che $AA v in V_1 : f(v)=0_(V_2)$
Il nucleo invece è un sottoinsieme , che si dimostra essere un sottospazio di $V_1$
in particolare $Kerf = { v in V_1 | f(v)=0_(V_2)} = f^(-1)({0_(v_2)})$
Come vedi L'omomorfismo nullo è un'applicazione, il nucleo un sottospazio,pertanto concettualmente sono cose diverse.
Nota :
Nota una cosa interessante : $Ker0 = V_1$
Mi spiego , siano $V_1$ e $V_2$ spazi vettoriali su $\mathbb{K}$
Un'omomorfismo tra questi spazi è un'applicazione
$f : V_1->V_2$ tale che $AA v, v' in V : f(v+v')=f(v)+f(v')$ e $AA \lambda in \mathbb{K} , v in V_1 : f(\lambda v) = \lambda f(v)$ (tale omomorfismo, prende il nome di applicazione lineare)
L'omomorfismo nullo (prova che è un omomorfismo!) è
l'applicazione $0 : V_1->V_2$ tale che $AA v in V_1 : f(v)=0_(V_2)$
Il nucleo invece è un sottoinsieme , che si dimostra essere un sottospazio di $V_1$
in particolare $Kerf = { v in V_1 | f(v)=0_(V_2)} = f^(-1)({0_(v_2)})$
Come vedi L'omomorfismo nullo è un'applicazione, il nucleo un sottospazio,pertanto concettualmente sono cose diverse.
Nota :
Nota una cosa interessante : $Ker0 = V_1$
grazie kashaman..ho in effetti un po' di confusione in testa..allora concettualmente sono due cose diverse, pero' se a ogni elemento del kernf associamo il vettore nullo ci deve essere un'applicazione lineare che fa quest'operazione, allora sarebbe corretto dire che l'omomorfismo nullo e' l'applicazione lineare che fa si che ad ogni elemento del kernf si associa il vettore nullo?
No, perché il nucleo è un concetto proprio di ogni omomorfismo,non puoi generalizzarlo. Mi spiego.
Il fatto che $Kerf$ associa ogni suo elemento il vettore nullo è una banalità, ma ciò non vuol dire che da questa caratteristica ne deduco che l'omomorfismo è nullo.
Piglia ad esempio $f : RR--> RR$ , $x in RR -> x in RR$
Tale $f$ è un omomorfismo di $RR$ spazi vettoriali, il $Kerf = {0}$ , ovviamente si ha che $f(0)=0$ ma $f$ non è l'omomorfismo nullo.
Il fatto che $Kerf$ associa ogni suo elemento il vettore nullo è una banalità, ma ciò non vuol dire che da questa caratteristica ne deduco che l'omomorfismo è nullo.
Piglia ad esempio $f : RR--> RR$ , $x in RR -> x in RR$
Tale $f$ è un omomorfismo di $RR$ spazi vettoriali, il $Kerf = {0}$ , ovviamente si ha che $f(0)=0$ ma $f$ non è l'omomorfismo nullo.
mmmm...riflettendo sul tuo messaggio di prima potresti spiegarmi perche' il Kern0 e' uguale allo spazio vettoriale di partenza? 
$0$ è l'applicazione che ad ogni elemento $v$ di $V_1$ associa il vettore nullo di $V_2$. (1)
Per definizione di nucleo, il nucleo è il sottospazio formato degli elementi di $V_1$ tali che la loro immagine tramite $0$(0 è la funzione nulla) è il vettore nullo.
Da (1) si deduce che ogni vettore di $V_1$ ha immagine nulla tramite $f$ e quindi $Ker0={ v in V_1} = V_1$
Per definizione di nucleo, il nucleo è il sottospazio formato degli elementi di $V_1$ tali che la loro immagine tramite $0$(0 è la funzione nulla) è il vettore nullo.
Da (1) si deduce che ogni vettore di $V_1$ ha immagine nulla tramite $f$ e quindi $Ker0={ v in V_1} = V_1$
Grazie Kashaman, ho riflettuto un po' su tutte le tue risposte e penso di aver capito dove sbagliavo a ragionare..il fatto che a ogni elemento del Kernf si associa il vettore nullo non mi autorizza a dire che l'applicazione che fa questo servizio è proprio l'omomorfismo nullo:
1)Perchè il nucleo è un insieme, ed è un concetto proprio di ogni spazio, tuttavia tale nucleo non è a mia discrezione ma dipende dall'applicazione lineare che vado a stabilire tra i due spazi vettoriali giusto?
Dunque come tu mi hai fatto notare se io stabilisco un'applicazione che a ogni elemento di Q (per esempio) associa un elemento di R, il nucleo di Q in questo caso può essere costituito solo dal vettore nullo, perchè non esistono sottoinsiemi di Q (a parte quello costituito dal solo vettore nullo) che soddisfano la definizione di Kernel, cioè che a ogni elemento del Kernel si associa il vettore nullo..
Da ciò però deduco che il concetto di nucleo di uno spazio è legato per forza di cose all'applicazione lineare che vado a stabilire su questo spazio ( con se stesso o con un altro spazio), insomma dato uno spazio vettoriale su cui non vado a stabilire nessuna applicazione lineare non c'è nessun nucleo giusto? o meglio non avrebbe senso trovarlo..
L'esempio di Q e R può dimostrare che l'applicazione associata al concetto di nucleo non è per forza l'omomorfismo nullo, se però stabiliamo un omomorfismo nullo su di un sottospazio risulta chiaro che tutto il sottospazio soddisfa la definizione di nucleo per cui tutto il sottospazio di partenza è uguale al Kernel..
Conclusione finale : Il nucleo è un cocnetto che non ha motivo di esistere se non stabiliamo prima un'applicazione lineare tra il primo spazio e se stesso oppure tra il primo spazio e un altro spazio vettoriale..
In altri termini il nucleo di uno spazio varia a seconda dell'applicazione lineare che associamo a tale spazio
Aspetto smentite su quello che ho capito.. :O
1)Perchè il nucleo è un insieme, ed è un concetto proprio di ogni spazio, tuttavia tale nucleo non è a mia discrezione ma dipende dall'applicazione lineare che vado a stabilire tra i due spazi vettoriali giusto?
Dunque come tu mi hai fatto notare se io stabilisco un'applicazione che a ogni elemento di Q (per esempio) associa un elemento di R, il nucleo di Q in questo caso può essere costituito solo dal vettore nullo, perchè non esistono sottoinsiemi di Q (a parte quello costituito dal solo vettore nullo) che soddisfano la definizione di Kernel, cioè che a ogni elemento del Kernel si associa il vettore nullo..
Da ciò però deduco che il concetto di nucleo di uno spazio è legato per forza di cose all'applicazione lineare che vado a stabilire su questo spazio ( con se stesso o con un altro spazio), insomma dato uno spazio vettoriale su cui non vado a stabilire nessuna applicazione lineare non c'è nessun nucleo giusto? o meglio non avrebbe senso trovarlo..
L'esempio di Q e R può dimostrare che l'applicazione associata al concetto di nucleo non è per forza l'omomorfismo nullo, se però stabiliamo un omomorfismo nullo su di un sottospazio risulta chiaro che tutto il sottospazio soddisfa la definizione di nucleo per cui tutto il sottospazio di partenza è uguale al Kernel..
Conclusione finale : Il nucleo è un cocnetto che non ha motivo di esistere se non stabiliamo prima un'applicazione lineare tra il primo spazio e se stesso oppure tra il primo spazio e un altro spazio vettoriale..
In altri termini il nucleo di uno spazio varia a seconda dell'applicazione lineare che associamo a tale spazio
Aspetto smentite su quello che ho capito.. :O
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Conclusione finale : Il nucleo è un cocnetto che non ha motivo di esistere se non stabiliamo prima un'applicazione lineare tra il primo spazio e se stesso oppure tra il primo spazio e un altro spazio vettoriale..
In altri termini il nucleo di uno spazio varia a seconda dell'applicazione lineare che associamo a tale spazio
Aspetto smentite su quello che ho capito.. :O
penso tu abbia capito
meno male .. 
grazie per i chiarimenti kashaman..
grazie per i chiarimenti kashaman..
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