Nucleo e immagine di un'applicazione lineare

[Aletzunny1]

Buongiorno, studiando dal testo "Geometria" di M.Abate non sono riuscito a capire bene cosa sono il $ker(f)$ e $Im(f)$ di un'applicazione lineare $f:V->W$ e di quali proprietà godano , soprattutto applicati a degli esempi.
Cercando sul web i miei dubbi sono solo aumentati!
Qualcuno potrebbe aiutarmi spiegandomi questi due concetti?
Grazie

[Indrjo Dedej]

Il kernel è un concetto ricorrente anche il altri contesti. Quanto si parla di spazi vettoriali, il kernel di una lineare \(f : V \to W\) è l'insieme \[\ker f:=\{v \in V \mid f(x)=O_W\}\] vale a dire il sottoinsieme di \(V\) i cui elementi sono mandati nel vettore nullo di \(W\). Poi \(\text{Im}f:=f(V)\).

[Aletzunny1]

"Indrjo Dedej":Il kernel è un concetto ricorrente anche il altri contesti. Quanto si parla di spazi vettoriali, il kernel di una lineare \(f : V \to W\) è l'insieme \[\ker f:=\{v \in V \mid f(x)=O_W\}\] vale a dire il sottoinsieme di \(V\) i cui elementi sono mandati nel vettore nullo di \(W\). Poi \(\text{Im}f:=f(V)\).

Allora questa definizione di $ker(f)$ commentata mi è utile e mi pare di capirla mentre quella di immagine non benissimo!
Tuttavia i miei dubbi vengono su un esempio risolto :

Dato $n>m$ e la funzione lineare $pi:k^n->k^m$ perché il

$ker(f)={[[x1],[.],[xn]] in k^n : [[x1],[.],[xm]]=[[0],[.],[0]] in k^m}$ così definito ha allora dimensioni $n-m$?

E invece sempre di questo esempio il libro riporta che $im(f)=k^m$ perché?
Grazie

[gugo82]

Quando non capisci una cosa, costruisciti un esempio.

Prendi $k=RR$, $n=3$ ed $m=1$ per esempio…

[Indrjo Dedej]

Se non mi definisci per bene la funzione \(\pi\), non so che dirti. Penso che prenda una \(n\)-upla di \(k^n\) ed elimini le ultime \(n-m\) componenti. Se è così, allora vediamo come è fatto il kernel: vi appartengono tutte e sole le \(n\)-uple di \(k^n\) con le prime \(m\) componenti uguali a \(0\). Riflettici. Le restanti \(n-m\) sono libere di variare in \(k\). Ora \(\ker\pi\) è "praticamente" \(k^{n-m}\) (in effetti esiste un isomorfismo tra il kernel e questo spazio): te ne rendi conto visto come sono fatte le \(n\)-uple del kernel. La dimensione del kernel quale sarà? La stessa di \(k^{n-m}\). Facile verificarlo.
Ora \(\text{Im}\pi\) è proprio il codominio, visto che \(\pi\) è suriettiva. Un po' di insiemistica elementare ti convincerà di ciò.

[Aletzunny1]

Allora per il $ker(f)$ posso pensarlo così giusto?

$ker(f)={[[0],[.],[0],[xm+1],[.],[xn]]} in k$

Mentre invece come fate a capire che $pi$ è suriettiva? Non riesco ad arrivarci

[Aletzunny1]

Nel senso che: quale è la definizione "spiegata" di immagine? Perché non riesco a capire, senza quella, come $Im(pi)=k^m$ e come si riesca a dire che $pi$ è suriettiva.
Infatti come defizione di suriettiva ho trovato che una $f$ è suriettiva se e solo se preserva i sistemi di generatori

[Aletzunny1]

Grazie, soprattutto per la spiegazione e i link... mi vengono molto utili