Nucleo e immagine di una funzione composta
Determinare una base del nucleo e una base dell'immagine di $g o f$ dove $f:RR^4->RR^3$ e $g:RR^3->RR^4$ sono tali che:
$f(1,0,0,0)=(1,2,3)$
$f(0,1,0,0)=(0,1,2)$
$f(0,0,1,0)=(2,1,0)$
$f(0,0,0,1)=(1,1,1)$
$g(1,-1,-1)=(1,0,-1,-2)$
$g(-1,1,-1)=(2,1,0,-1)$
$g(-1,-1,1)=(-1,-1,1,1)$
Allora ho agito così: $gof=M_(\epsilon,\epsilon)(g)M_(\epsilon,\epsilon)(f)$ ovvero sono le matrici associate alle due applicazioni lineari rispetto alla base canonica.
La matrice associata a f rispetto alla basa canonica già la conosciamo, mentre per la g dobbiamo ricavarcela. Allora ho pensato che: $M_(\epsilon,\epsilon)(g)=(M_(\epsilon,B))M_(B,B)(M_(B,\epsilon))$. Abbiamo che:
$M_(\epsilon,B)=((1,-1,-1),(1,1,-1),(-1,-1,1))$ e $M_(B,B)=((1,2,-1),(0,1,-1),(-1,0,1),(-2,-1,1))$
Con qualche calcolo mi ricavo anche l'inversa di $M_(\epsilon,B)$ che è uguale a $M_(B,\epsilon)$. Tuttavia andando avanti mi blocco perchè non mi trovo una moltiplicazione tra una matrice 3x3 e una matrice 3x4. Cosa devo fare? E mi potete dire se ciò che ho fatto fino a qui è giusto? Grazie!!
$f(1,0,0,0)=(1,2,3)$
$f(0,1,0,0)=(0,1,2)$
$f(0,0,1,0)=(2,1,0)$
$f(0,0,0,1)=(1,1,1)$
$g(1,-1,-1)=(1,0,-1,-2)$
$g(-1,1,-1)=(2,1,0,-1)$
$g(-1,-1,1)=(-1,-1,1,1)$
Allora ho agito così: $gof=M_(\epsilon,\epsilon)(g)M_(\epsilon,\epsilon)(f)$ ovvero sono le matrici associate alle due applicazioni lineari rispetto alla base canonica.
La matrice associata a f rispetto alla basa canonica già la conosciamo, mentre per la g dobbiamo ricavarcela. Allora ho pensato che: $M_(\epsilon,\epsilon)(g)=(M_(\epsilon,B))M_(B,B)(M_(B,\epsilon))$. Abbiamo che:
$M_(\epsilon,B)=((1,-1,-1),(1,1,-1),(-1,-1,1))$ e $M_(B,B)=((1,2,-1),(0,1,-1),(-1,0,1),(-2,-1,1))$
Con qualche calcolo mi ricavo anche l'inversa di $M_(\epsilon,B)$ che è uguale a $M_(B,\epsilon)$. Tuttavia andando avanti mi blocco perchè non mi trovo una moltiplicazione tra una matrice 3x3 e una matrice 3x4. Cosa devo fare? E mi potete dire se ciò che ho fatto fino a qui è giusto? Grazie!!
Risposte
Errata corrige: il prodotto che non riesco a fare è tra una matrice 3x3 e una matrice 4x3.
Ciao, se ho ben capito non riesci a trovare la matrice associata a $g$. Possiamo procedere così: la $g$ è lineare, quindi $$g\begin{bmatrix}1\\-1\\-1\end{bmatrix} = g\left(e_1\right)-g\left(e_2\right)-g\left(e_3\right) = \begin{bmatrix}1\\0\\-1\\-2\end{bmatrix}$$ Chiamiamo $$g_1 := g\left(e_1\right) \qquad g_2 := g\left(e_2\right) \qquad g_3 := g\left(e_3\right)$$ Sfruttando le relazioni date possiamo scrivere il seguente sistema: $$\begin{cases}
g_1-g_2-g_3 = \begin{bmatrix}1&0&-1&-2\end{bmatrix}^T \\
-g_1+g_2-g_3 = \begin{bmatrix}2&1&0&-1\end{bmatrix}^T \\
-g_1-g_2+g_3 = \begin{bmatrix}-1&-1&1&1\end{bmatrix}^T
\end{cases}$$ che si risolve piuttosto facilmente con qualche somma o sottrazione membro a membro. Infine la matrice che cerchi è data da $$\left[\begin{array}{c|c|c}
g_1 & g_2 & g_3
\end{array}\right]$$
g_1-g_2-g_3 = \begin{bmatrix}1&0&-1&-2\end{bmatrix}^T \\
-g_1+g_2-g_3 = \begin{bmatrix}2&1&0&-1\end{bmatrix}^T \\
-g_1-g_2+g_3 = \begin{bmatrix}-1&-1&1&1\end{bmatrix}^T
\end{cases}$$ che si risolve piuttosto facilmente con qualche somma o sottrazione membro a membro. Infine la matrice che cerchi è data da $$\left[\begin{array}{c|c|c}
g_1 & g_2 & g_3
\end{array}\right]$$
Perfetto, non ci avevo pensato così è molto più semplice! Ma se in caso mi capitasse un prodotto tra una matrice 3x3 e una matrice 4x3 come devo fare? Il prodotto righe per colonne non si può fare. Grazie ancora!
No, quel prodotto non si può fare. Se ti capita è perché c'è qualche errore da qualche parte.
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