Nucleo e immagine di una applicazione lineare

[qwert90]

Buongirono.
il problema è questo :
sia $\varphi$ una applicazione lineare cosi definita

$\varphi$ : $R^3$ ----> $R^3$ :

$\varphi$ ( $a_1$, $a_2$ , $a_3$ ) = (2$a_1$ + k$a_2$ - 3$a_3$ , 6$a^_$ + 3$a_2$ + 4$a_3$, -$a_3$ )

Nel caso in cui K= 1

determianre Immagine e nucleo della suddetta applicazione.

allora io ho fatto in questo modo:

ho scritto la matrice associata all'applicazione lineare:

A = $((2,k,-3),(6,3,4),(0,0,-1))$ che per k=1 diventa

$((2,1,-3),(6,3,4),(0,0,-1))$

poi:

-calcolo Im:

riduco a scalini la matrice A
ed ottengo la seguente matrice:

$((2,1,-3),(0,0,7),(0,0,0))$
noto che i pivot sono nella prima e terza colonna..
quindi
Im = L[(2,6,0), (-3,4,-1)] cioè Im = [ $\alpha$ *(2,6,0), $\beta$*(-3,4,-1)]

e la sua dimensione è 2

-calcolo Ker:
come fatto prima riduco la matrice A a scalini ed ottengo:
$((2,1,-3),(0,0,7),(0,0,0))$

che equivale al sistema

$\{(2x + y + 3z = 0),(0 + 0 + 7z = 0),(0 + 0 + 0 = 0):}$

dove : x = $a_1$ , y = $a_2$ e z = $a_3$

l'unica variabile libera è $a_2$, cioè y..
quindi faccio:
$a_2$ = a
noto che $a_3$ = 0
quindi $a_1$ = -a/2

Ker = [(-a/2, a, 0) al variare di a]

mi trovo che dim Ker é 1

PER PIACERE ANCHE PER COMPENSARE TUTTA LA FATICACCIA CHE HO FATTO PER SCRIVERE QUESTO ESERCIZIO POTETE DIRMI SE HO FATTO BENE O MENO ???
E MOLTO IMPORTANTE...TRA POCHI GIORNI HO L'ESAME... ALMENO COSI AVRO QUALCKE DUBBIO IN MENO...

GRAZIE 1000 PER LA DISPONIBILITA'

[qwert90]

GRAZIE SERGIO ...
se tra poco posto u altro esercizio in cui ho avuto qualche difficoltà potresti aiutarmi??
grazie 1000 per la risposta e per la disopnibilità

[qwert90]

va bene grazie mille lo stesso