Nucleo e immagine (applicazioni lineari)

[Filipporock93]

Ciao ragazzi , non riesco a capire come calcolare il nucleo e l'immagine di un applicazione lineare.
Per esempio , in questo esercizio:
Sia L:v^3->V^2 DEFINITA DA L(x,y,z) = (2x+y,x-z).
Verificare che L è un'applicazione lineare. (E questo lo so fare)

quando mi dice:

Determinarne poi nucleo e immagine e vericare la relazione di Grassman. Qui il mio libro è molto sintentico , potreste farmi capire i passaggi perfavore? GRAZIE.

[Riccardo Desimini]

Il sistema lineare che descrive il nucleo di \( L \) è quello in cui si chiede l'annullamento delle componenti dell'immagine di \( (x,y,z) \) attraverso \( L \), cioè il sistema
\[ \cases{2x+y = 0 \\ x-z=0} \]
L'immagine di \( L \), invece, è generata dalle immagini dei vettori di una base di \( V^3 \).

[Filipporock93]

Quindi per quanto riguarda il nucleo di L basta fare il sistema?
E cosa intenti per : l immagine di L è generata dalle immagine dei vettori di una base di V^3?

[Riccardo Desimini]

L'immagine di \( L \) è un sottospazio vettoriale di \( V^2 \), pertanto è possibile individuare i suoi elementi attraverso combinazioni lineari di suoi generatori.

Quello che intendo è che se tu scegli una base di \( V^3 \), allora le immagini di ciascun vettore attraverso \( L \) ti danno dei generatori dell'immagine di \( L \).