Nucleo e immagine
Ciao ragazzi, avevo un dubbio per il calcolo di nucleo e immagine
data l applicazione lineare $ RR^3-> RR^3 $ definita da $ f (e1)=e1+e2+e3 $ $ f (e2) = 2e1+2e2+2e3 $ $ f (e3) =e1+ e2+ e3 $ trovare nucleo e immagine. Mi era sorro questo dubbio: la matrice associata sarebbe $ ( (1,1,1) , (2,2,2) , (1,1,1) ) $ ??
data l applicazione lineare $ RR^3-> RR^3 $ definita da $ f (e1)=e1+e2+e3 $ $ f (e2) = 2e1+2e2+2e3 $ $ f (e3) =e1+ e2+ e3 $ trovare nucleo e immagine. Mi era sorro questo dubbio: la matrice associata sarebbe $ ( (1,1,1) , (2,2,2) , (1,1,1) ) $ ??
Risposte
@C6x6Casadei,
a rigore*, secondo la def, dovresti mettere le immagini della base in colonna e non in riga..
[size=50]*secondo alcuni docenti non è così[/size]
a rigore*, secondo la def, dovresti mettere le immagini della base in colonna e non in riga..
[size=50]*secondo alcuni docenti non è così[/size]
Quindi verrebbe $ ( (1,2,1) , (1,2,1) , (1,2,1) ) $
Da qui riducendo con gauss trovo (anche a occhio) che l immagine ha dimensione 1 quindi:
$ IM=span { (1,2,1) } $
Il nucleo ha quindi dimensione 2
$ x+2y+z=0 $ -> $ x=-2y-z $
Quindi una base per il nucleo può essere $ ker (f) = [-3,1,1] , [-1,0,1] $
Puo' andar bene questo procedimento?
Da qui riducendo con gauss trovo (anche a occhio) che l immagine ha dimensione 1 quindi:
$ IM=span { (1,2,1) } $
Il nucleo ha quindi dimensione 2
$ x+2y+z=0 $ -> $ x=-2y-z $
Quindi una base per il nucleo può essere $ ker (f) = [-3,1,1] , [-1,0,1] $
Puo' andar bene questo procedimento?
Prendi con le pinze ciò che sto dicendo perché lo sto vedendo or ora ma mi pare che dopo aver ridotto a scala la matrice associata hai trovato la base del nucleo, se i vettori riga sono linearmente indipendenti. Nel tuo caso quindi la dimensione del nucleo è 1 ed è esso è lo span di (1,2,1).
Seconso me quella è l'immagine.
"Il nucleo, data un applicazione lineare, è l insieme degli elementi v di V tali che F (v)=0
"Il nucleo, data un applicazione lineare, è l insieme degli elementi v di V tali che F (v)=0
Io non guarderei le dispense della morigi, sono un casino totale (anche perche è difficile scrivere i calcoli li, ma come vedi non prende lo span dei vettori ridotti con gauss, per esempio la matrice $( (0,3,2,1) , (0,0,1,4) ) $ gia ridotta con Gauss, non dice che il nucleo é lo span di quei 2 vettori, ma le o la soluzione (dipende dalla dimensione del nucleo) di questo sistema
$ ( (3y+2z+t=0) , (z+4t=0) ) $
io l ho capito così
$ ( (3y+2z+t=0) , (z+4t=0) ) $
io l ho capito così
Eh in effetti mi sa che avevo saltato qualche riga... e a pagina 8 non capisco nemmeno bene cosa ha fatto 
Tu su cosa stai studiando? Da come parli pare che conosci le dispense in questione, per caso hai l'esame venerdì anche tu?
Tu su cosa stai studiando? Da come parli pare che conosci le dispense in questione, per caso hai l'esame venerdì anche tu?
Io sto studiando fisica a bologna. In quelle dispense mi hanno detto che ci stanno errori, poi si capisce poco o nulla, io quello che ho imparato l ho imparato tutto in questo forum e su internet (sul libro c e quasi solo teoria) . Io l esame ce l ho il 17 febbraio, ma già da due mesi studio sta roba 
Sì sono tremende, io mi sono trovata malissimo, ma bisogna dire che sono una capra.
Sinceramente anche guardando altri testi non è che mi sia trovata tanto meglio.
Sinceramente anche guardando altri testi non è che mi sia trovata tanto meglio.
già che ci sono... devo determinare una base per il nucleo di questa applicazione lineare:
$L: R^3 -> R^3$
$L(x,y,z)=(x,x,x)$
La matrice associata rispetto alle basi canoniche è:
1 0 0
1 0 0
1 0 0
Che ridotta a scala diventa
1 0 0
0 0 0
0 0 0
Ho infinite soluzioni dip. da 2 parametri.
Da qui non so proseguire.
$L: R^3 -> R^3$
$L(x,y,z)=(x,x,x)$
La matrice associata rispetto alle basi canoniche è:
1 0 0
1 0 0
1 0 0
Che ridotta a scala diventa
1 0 0
0 0 0
0 0 0
Ho infinite soluzioni dip. da 2 parametri.
Da qui non so proseguire.
Qua viene semplicemente $ x=0 $ con y, z a scelta
Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione 2, dato che l'immagine ha dimensione 1. Quindi
$ kerf = [ (0) , (y) , (z) ] , [ (0) , (y) , (z) ] $
Con y, z a scelta.
credo si faccia cosi
Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione 2, dato che l'immagine ha dimensione 1. Quindi
$ kerf = [ (0) , (y) , (z) ] , [ (0) , (y) , (z) ] $
Con y, z a scelta.
credo si faccia cosi
"6x6Casadei":
Da qui riducendo con gauss trovo (anche a occhio) che l immagine ha dimensione 1 quindi:
$ IM=span { (1,2,1) } $
Il nucleo ha quindi dimensione 2
$ x+2y+z=0 $ -> $ x=-2y-z $
Quindi una base per il nucleo può essere $ ker (f) = [-3,1,1] , [-1,0,1] $
Puo' andar bene questo procedimento?
facendo un po di calcoli con un generico \((x,y,z) \in \operatorname{ker}(f)\) ottengo $$(x,y,z)=\beta(-2,1,0)+\gamma(-1,0,1) \Rightarrow \operatorname{ker}(f)=\mathscr{L}((-2,1-0),(-1,0,1)) \Rightarrow \dim_\Bbb{R}(\operatorname{ker}(f))=2$$ Come deduci la \(\dim_{\Bbb{R}}(\operatorname{im}(f))\) e i suoi elementi?
"6x6Casadei":
Qua viene semplicemente $ x=0 $ con y, z a scelta
Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione 2, dato che l'immagine ha dimensione 1. Quindi
$ kerf = [ (0) , (y) , (z) ] , [ (0) , (y) , (z) ] $
Con y, z a scelta.
credo si faccia cosi
ma non basta solo (0,y,z) per generare tutto il nucleo ?
"EveyH":già che ci sei potevi finire l'esercizio di prima
già che ci sono... devo determinare una base per il nucleo di questa applicazione lineare:
$L: R^3 -> R^3$
$L(x,y,z)=(x,x,x)$
... comunque, considera \(L((x,y,z))=(0,0,0)\) ed ottieni $$ \Bbb{R}^3 \ni (x,x,x)=(0,0,0) \Rightarrow \ker(L)=\{(0,y,z)|z,y \in \Bbb{R}\} \Rightarrow \ker(L)=\mathscr{L}((0,1,0),(0,0,1))$$ a te le conclusioni
Come deduci la dimR(im(f)) e i suoi elementi?
La dimensione Di $ RR $ la da già ed è 3, riducendo con gauss viene $ (1,2,1) $ quindi l immagine ha dimensione 1 e il nucleo 2.
Quindi $ IM = span { (1,1,1) } $
"garnak.olegovitc":già che ci sei potevi finire l'esercizio di prima
[quote="EveyH"]già che ci sono... devo determinare una base per il nucleo di questa applicazione lineare:
$L: R^3 -> R^3$
$L(x,y,z)=(x,x,x)$
... comunque, considera \(L((x,y,z))=(0,0,0)\) ed ottieni $$ \Bbb{R}^3 \ni (x,x,x)=(0,0,0) \Rightarrow \ker(f)=\{(0,x,y)|x,y \in \Bbb{R}\} \Rightarrow \ker(f)=\mathscr{L}((0,1,0),(0,0,1))$$ a te le conclusioni[/quote]sì ma poi mi sono intrippata con quest'altro esercizio
quindi secondo te il nucleo di questa applicazione è lo span di (0,1,0) e (0,0,1)?
e dato che sono due vettori linearmente indipendenti sono anche la base di questo nucleo?
però non capisco come posso fare quella deduzione arrivando ad avere questa matrice a scala
1 0 0
0 0 0
0 0 0
vorrei capire bene anche se questo è un esempio semplice, ma purtroppo gli esercizi del compito non sono mai così banali.
Devi fare il sistema e porre tutte le equazioni uguali a 0
$ ( (1x+0y+0z=0) , (0x+0y+0z=0) , (0x+0y+0z=0) ) $
Così, da qui trovi che x=0 y, z appartenenti a $ RR $ ( ossia puoi scegliere quelli che vuoi)
Una base del nucleo poteva essere $ (0,1,10) , (0,29,1) $ , ma la più semplice è quella sopra $ (0,1,0) , (0,0,1) $
Io no so però se prendi 2 multipli come $ (0,1,1) e (0,2,2) $ possano essere una base del nucleo, ma se li prendi non multipli il problema non ti si pone.
$ ( (1x+0y+0z=0) , (0x+0y+0z=0) , (0x+0y+0z=0) ) $
Così, da qui trovi che x=0 y, z appartenenti a $ RR $ ( ossia puoi scegliere quelli che vuoi)
Una base del nucleo poteva essere $ (0,1,10) , (0,29,1) $ , ma la più semplice è quella sopra $ (0,1,0) , (0,0,1) $
Io no so però se prendi 2 multipli come $ (0,1,1) e (0,2,2) $ possano essere una base del nucleo, ma se li prendi non multipli il problema non ti si pone.
"6x6Casadei":
Devi fare il sistema e porre tutte le equazioni uguali a 0
$ ( (1x+0y+0z=0) , (0x+0y+0z=0) , (0x+0y+0z=0) ) $
Così, da qui trovi che x=0 y, z appartenenti a $ RR $ ( ossia puoi scegliere quelli che vuoi)
sì sì fin qui l'ho capito
mi manca il passaggio successivo
cioè
perché la base del nucleo è questa che hai indicato cioè $ (0,1,0) , (0,0,1) $? come lo calcolo? avendo solo che la soluzione del sistema è x=0 e y,z a piacere.
grazie!
la soluzione del sistema è x=0 e y,z a piacere.
Hai gia' detto tutto qua. Tu devi trovare 2 vettori non multipli tra loro (2 perche la dimensione del nucleo e' 2) la cui prima coordinata e' 0.
Un vettore in $ RR^3 $ è formato da v1(x, y, z) al posto di x ci metti 0 e al posto du y, z ci metti 2 numeri che vuoi te!
"6x6Casadei":genauso, sulla "dimensione di \(\Bbb{R}\)" avrei qualcosa da obiettare
La dimensione Di $ RR $ la da già ed è 3, riducendo con gauss viene $ (1,2,1) $ quindi l immagine ha dimensione 1 e il nucleo 2.
Quindi $ IM = span { (1,1,1) } $
(sarà il tuo una sorta di typo)... ed odio Gauss!!! - dal teorema del rango dato un omomorfismo si ha $$1=\dim_{\Bbb{R}}(\operatorname{im}(f))=\dim_\Bbb{R}(\operatorname{dom}(f))-\dim_\Bbb{R}(\ker(f))=3-2$$ inoltre $$\operatorname{im}(f)=\mathscr{L}(f(e_1),f(e_2),f(e_3))=\mathscr{L}((1,1,1),(2,2,2),(1,1,1))=...=\mathscr{L}((1,1,1))$$
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