Nucleo e immagine

[6x6Casadei]

Ciao ragazzi, avevo un dubbio per il calcolo di nucleo e immagine

data l applicazione lineare $ RR^3-> RR^3 $ definita da $ f (e1)=e1+e2+e3 $ $ f (e2) = 2e1+2e2+2e3 $ $ f (e3) =e1+ e2+ e3 $ trovare nucleo e immagine. Mi era sorro questo dubbio: la matrice associata sarebbe $ ( (1,1,1) , (2,2,2) , (1,1,1) ) $ ??

[EveyH]

"6x6Casadei":
Hai gia' detto tutto qua. Tu devi trovare 2 vettori non multipli tra loro (2 perche la dimensione del nucleo e' 2) la cui prima coordinata e' 0.
Un vettore in $ RR^3 $ è formato da v1(x, y, z) al posto di x ci metti 0 e al posto du y, z ci metti 2 numeri che vuoi te!

ma come so che la dimensione del nucleo è 2 ? senza calcolare anche l'immagine intendo.

[garnak.olegovitc1]

"EveyH":
quindi secondo te il nucleo di questa applicazione è lo span di (0,1,0) e (0,0,1)?

ja=si!!

"EveyH":e dato che sono due vettori linearmente indipendenti sono anche la base di questo nucleo?

ja=si!

"EveyH":
però non capisco come posso fare quella deduzione arrivando ad avere questa matrice a scala
1 0 0
0 0 0
0 0 0
vorrei capire bene anche se questo è un esempio semplice, ma purtroppo gli esercizi del compito non sono mai così banali.

mmmm personalmente non ricordo i metodi di riduzione di una matrice, li ho sempre odiati.. ho preso altre vie!!

[6x6Casadei]

Grazie per l'aiuto garnak!!!
Odi Gauss!!! Io vivo di quello!!!

[EveyH]

posso dedurre che la dimensione del nucleo è 2 dal fatto che il sistema ha 2 parametri liberi?

[6x6Casadei]

No! Lo deduci dal teorema del rango, in pratica la dimensione del nucleo+la dimensione dell'immagine = dimensione del sottospazio che sarebbe $ RR^3 $ in questo caso
una volta calcolata la dimensione dell immagine con Gauss (nel tuo caso è 1) trovi dalla formula inversa che

Dim nucleo = Dim sottospazio (3) - Dim imm. (1) = 2

Prova a dare un occhiata al link che ha messo garnak su questo teorema

[EveyH]

Ah ecco, quindi mi devo sempre calcolare la dimensione dell'immagine.
Però io ho visto degli esempi in cui questa cosa non viene fatta.

[garnak.olegovitc1]

"EveyH":posso dedurre che la dimensione del nucleo è 2 dal fatto che il sistema ha 2 parametri liberi?

1°= mmmmmmmmmm JA.., "applicando il teorema del rango" mi sembra una risposta migliore ad un simile contesto

ecco come procedo di solito; considera \(L((x,y,z))=(0,0,0)\) ovvero \(L((x,y,z))=(x,x,x)=(0,0,0)\) ed ottieni, sviluppando le uguaglianze, il sistema lineare $$ \Sigma:=\left\{\begin{matrix}
x=0\\
x=0\\
x=0
\end{matrix}\right.$$ tenendo conto delle matrici complete ed incomplete e del teorema di Rouchè-Capelli si nota che \(\Sigma\) è compatibile ma $$1=\operatorname{rnk}(\Sigma) < 3=\text{numero delle incognite}$$ ergo sarà anche indeterminato con $$ \infty^{3-\operatorname{rnk}(\Sigma)=2} \text{ soluzioni e con } 3-\operatorname{rnk}(\Sigma) \text{ variabili libere} $$ il sistema \( \Sigma\) è anche simile alla sola equazione \( x=0\) ergo le soluzioni del sistema iniziale sono $$ \text{Sol}(\Sigma)=\{(0,y,z) \in \Bbb{R}^3|y,z \in \Bbb{R}\}=\ker(L)$$ Ora, se prendi un generico vettore del nucleo di \(L\) questo sarà della forma \((0,y,z) \in \Bbb{R}^3\) ergo e si vede facilmente $$(0,y,z)=y(0,1,0)+z(0,0,1), \; y,z \in \Bbb{R}$$ ergo il nucleo di \(L\) è generato da quei due vettori che sono anche la sua base

2°= Ho modificato un mio messaggio precedente

[EveyH]

Oppure per sapere la dimensione del nucleo sfrutto questo teorema:
numero colonne di A* = rango di A + dim(ker(A))

*la nostra matrice ridotta a scala

ma come posso generalizzare questo passaggio:
\(\displaystyle (0,y,z)=y(0,1,0)+z(0,0,1) |y,z∈R \)

ad una situazione più complessa?
ovvero esattamente tu cosa hai fatto? hai "separato" i parametri?

[garnak.olegovitc1]

"EveyH":Oppure per sapere la dimensione del nucleo sfrutto questo teorema:
numero colonne di A* = rango di A + dim(ker(A))

CLIC

"EveyH":
ma come posso generalizzare questo passaggio:
\(\displaystyle (0,y,z)=y(0,1,0)+z(0,0,1) |y,z∈R \)

ad una situazione più complessa?
ovvero esattamente tu cosa hai fatto? hai "separato" i parametri?

ho applicato le operazioni che si definiscono in un qualsiasi \(K^n\) come spazio vettoriale, con \(K\) un campo!! (CLIC)

[6x6Casadei]

Numero colonne di A---sarebbe il sottospazio $ RR^3 $ nel tuo caso quindi hai 3 colonne
rango di A--- sarebbe la dimensione dell'immagine
È lo stesso teorema, un po più pratico forse!!

[EveyH]

sì è lo stesso, mancava solo l'informazione che il rango è la dimensione dello spazio generato dai vettori colonna ma anche la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare $R^n -> R^mS