Nucleo di una matrice
Non ho capito bene il concetto di nucleo di una matrice.
Dice che è l' insieme dei vettori la cui immagine è il vettore nullo, non capisco bene.
Mi potete dare una definizione migliore?
Dice che è l' insieme dei vettori la cui immagine è il vettore nullo, non capisco bene.
Mi potete dare una definizione migliore?
Risposte
Diciamo che il concetto di nucleo in algebra lineare (sezione nella quale dovrebbe trovarsi questa domanda) si trova collegato all'argomento "applicazioni lineari".
Quando si parla di "nucleo di una matrice [tex]A\,\,m\times n[/tex] " implicitamente si fa riferimento all'applicazione canonica [tex]L_A:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m \text{ tale che }x\mapsto Ax\,\,\forall x\in \mathbb{R}^n[/tex]. Si identifica quindi [tex]\ker A :=\ker L_A=\left \{ x\in \mathrm{R}^n\,:\, Ax=\underline{O}\right \}[/tex].
Quando si parla di "nucleo di una matrice [tex]A\,\,m\times n[/tex] " implicitamente si fa riferimento all'applicazione canonica [tex]L_A:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m \text{ tale che }x\mapsto Ax\,\,\forall x\in \mathbb{R}^n[/tex]. Si identifica quindi [tex]\ker A :=\ker L_A=\left \{ x\in \mathrm{R}^n\,:\, Ax=\underline{O}\right \}[/tex].
Quindi per esempio se ho la matrice:
A = || 1 2 3 ||
|| -1 0 1 ||
|| 2 -3 6 ||
Se dico che il nucleo di A è composto dai vettori:
v1={ λ , λ , -λ }
v2={ λ , 0 , λ }
V3={ λ , -8/3 λ, λ }
E' corretto?
A = || 1 2 3 ||
|| -1 0 1 ||
|| 2 -3 6 ||
Se dico che il nucleo di A è composto dai vettori:
v1={ λ , λ , -λ }
v2={ λ , 0 , λ }
V3={ λ , -8/3 λ, λ }
E' corretto?
[mod="Martino"]Sposto in algebra lineare. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]
Non direi, anche perché il primo vettore non anulla la matrice.
Per trovare i generatori del nucleo devi semplicemente risolvere il sistema lineare [tex]Ax=\underline{O}[/tex].
Per trovare i generatori del nucleo devi semplicemente risolvere il sistema lineare [tex]Ax=\underline{O}[/tex].
Quindi dovrei risolverlo come un sistema di equazioni lineari omogeneo?
Ho provato a applicare il teorema di Rouchè-Capelli, mi è risultato che il rango della matrice completa è uguale a 3, quindi il sistema ammette una soluzione che è la n-pla di tutti 0.
E' giusto affermato che ker(A)=(0,0,0) ?
Ho provato a applicare il teorema di Rouchè-Capelli, mi è risultato che il rango della matrice completa è uguale a 3, quindi il sistema ammette una soluzione che è la n-pla di tutti 0.
E' giusto affermato che ker(A)=(0,0,0) ?
vediamo se questa spiegazione può convincerti.
il nucleo di una matrice, o meglio di una FUNZIONE lineare $ f $, è un insieme di vettori v tali che $ f(v) = 0 $, ovvero che l'immagine ( $ f(v) $ ) di ogni vettore appartenente al nucleo è il vettore nullo;
vediamo un esempio:
sia data la matrice $ M = ((1,2,3),(-1,1,1),(0,2,1)) $ associata ad un'applicazione lineare $ f : R^3 rarr R^3 $ per calcolare $ ker(f) $ devi semplicemente risolvere il sistema :
$ Mx=0 $ ovvero $ ((1,2,3),(-1,1,1),(0,2,1)) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $ le cui soluzioni coicidono con $ ker(f) $
riducendo a scalini abbiamo $ ((1,2,3),(0,3,4),(0,0,1)) ((x),(y),(z) ) =((0),(0),(0)) $, e il sistema ammette come soluzioni lo spazio banale $ 0_(R^3) $ , quindi $ ker(f) = 0_(R^3) $.
spero di essere stato chiaro...
il nucleo di una matrice, o meglio di una FUNZIONE lineare $ f $, è un insieme di vettori v tali che $ f(v) = 0 $, ovvero che l'immagine ( $ f(v) $ ) di ogni vettore appartenente al nucleo è il vettore nullo;
vediamo un esempio:
sia data la matrice $ M = ((1,2,3),(-1,1,1),(0,2,1)) $ associata ad un'applicazione lineare $ f : R^3 rarr R^3 $ per calcolare $ ker(f) $ devi semplicemente risolvere il sistema :
$ Mx=0 $ ovvero $ ((1,2,3),(-1,1,1),(0,2,1)) ((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $ le cui soluzioni coicidono con $ ker(f) $
riducendo a scalini abbiamo $ ((1,2,3),(0,3,4),(0,0,1)) ((x),(y),(z) ) =((0),(0),(0)) $, e il sistema ammette come soluzioni lo spazio banale $ 0_(R^3) $ , quindi $ ker(f) = 0_(R^3) $.
spero di essere stato chiaro...
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