Nucleo di un monomorfismo

[Daken97]

Salve, volevo sapere per quale ragione il nucleo di un monomorfismo (omomorfismo iniettivo) è necessariamente costituito dal solo vettore nullo.

[otta96]

Quale altro vettore potrebbe appartenergli?

[Magma1]

Qual è la definizione di nucleo di una funzione?

[Daken97]

Il ker è l'insieme dei valori che ammettono il vettore nullo come immagine.

[Magma1]

Bene ; la definizione di monomorfismo?

[Daken97]

Ok ci sono arrivato, ed era pure semplice.

Il monomorfismo è un omomorfismo iniettivo... F(vettore nullo) da il vettore nullo (visto che parliamo di applicazioni lineari), e tale elemento può essere raggiunto solo in quel modo, dato che per ipotesi parliamo di un omomorfismo iniettivo. Diciamo che prima ignoravo un importante aspetto della definizione di iniettività...

[Magma1]

"Daken97":Ok ci sono arrivato

Ottimo! In ogni caso è una cosa che si può dimostrare: data una funzione lineare $f: qquad V->W$, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

$(a)$ $f$ è iniettiva
$(b)$ $ker(f)=0$

Dimostriamo che $(a) rArr (b)$: intanto osserviamo che $0 in ker(f)$ perché $f(0)=0$, inoltre

$v in ker(f) hArr f(v)=0=f(0)$

e per l'iniettività non può che essere

$v=0$

Ora dimostriamo che $(b) rArr (a)$: proviamo che se $v,w in V$ e $f(v)=f(w) rArr v=w$,

$f(v)=f(w) hArr f(v)-f(w)=0$

per la linearità si ha

$0=f(v)-f(w)=f(v-w)$

quindi

$v-w in ker(f)={0} rArr v-w=0 hArr v=w$

[Daken97]

Esatto. In breve, qualunque omomorfismo ammette il vettore nullo nel proprio nucleo, ma in caso di iniettività esso non può contenere altri elementi, dato che il vettore nullo può essere immagine al più di un solo elemento del dominio (ovviamente il vettore nullo stesso).