Nozione di restrizione

[Arcady Tsepesh]

Salve, come da titolo vorrei chiedere a qualche anima pia di spiegarmi, anche in modo non sintetico, cosa sono nei fatti le restrizioni, e come possono essere applicate.
Da come avevo inizialmente capito cercare una restrizione equivaleva a "scegliere" i vettori di una base a cui siamo interessati.
Ma poi ho incontrato un problema che mi chiedeva di ricercare un sottospazio invariante e diagonalizzabile di dimensione 2 di un certo spazio vettoriale, ma il problema è che mi sarei ritrovato 2 vettori di lunghezza 4, e quindi come dovrebbe, il sottospazio vettoriale, essere diagonalizzabile da non quadrato?

[j18eos]

Benvenuta\o Arcady Tsepesh;

evidentemente la tua domanda riguarda le restrizioni di un endomorfismo lineare di uno spazio vettoriale (finito-dimensionale): giusto?

Potresti scrivere un esempio concreto, così da ragionare assieme?

Grazie.

[Arcady Tsepesh]

Grazie per la risposta! (e il benvenuto)
Corretto. Nei fatti ho trovato un esercizio particolare ma non riesco ad elaborarlo.
Però ho un problema di "linguaggio" su questo sito. Nel senso che non so come formattare una matrice.
Funziona in un modo simile a Wolfram?

[Arcady Tsepesh]

È un po' imbarazzante da chiedere, ma che tipo di linguaggio usa questo sito?
Nel senso, per rappresentare un vettore devo scrivere A=(a, b, c) e lo converte visivamente nella forma che avrebbe su un foglio?

[axpgn]

In alto, nel box rosa, c'è la guida per scrivere le formule, inoltre nel form di risposta c'è un editor per le formule.
E comunque basta usare Latex o ASCII MathJax.

$A=((1,A),(2,B),(3,C))$

[gabriella127]

Benvenuta/o Arcady Tsepesh .
Per scrivere matrici e vettori, quando rispondi a un messaggio, sotto vedi scritto 'Aggiungi formula'. Là nella barra sopra trovi scritto MATRICI, e lì trovi come scrivere vari tipi di matrici.
E lì in 'Aggiungi formula' trovi come scrivere un po' tutto se hai dubbi.

Il sito usa LateX o AsciiMath.
E basta che scrivi in LateX tra segni di dollaro o le slash, oppure in AsciiMath tra i segni di dollaro.
(mi aveva preceduto axpgn, non avevo visto).

[Arcady Tsepesh]

Anzitutto,mi scuso per essere scomparso. Dopo gli esami avevo un lavoro da fare e mi ero dimenticato di scrivere qui(scusate davvero).
L'esercizio specifico a cui mi riferivo ha più questioni, di contro le uniche due che mi perplimono non poco solo le ultime due.
Per sintetizzare:
Sia data una matrice A={(1,-2,1), (-1,2,0),(0,0,3)}.
Trovare un sottospazio invariante U di dimensione 2 A tale che U sia diagonalozzabile.
Trovare un sottospazio invariante V di dimensione 2 di A tale che V NON sia diagonalizzabile.
Ora la mia mente continua a cercare un sottospazio che soddisfi tale condizione, ma qualunque combinazione dei vettori di A
Di dimensione 2 non sarebbe una matrice rettangolare?
Oppure devo aggiungere un 3 vettore ricavato dai 2 vettori scelti tale che con l'aggiunta di quest'ultimo il sottospazio rispetti le condizioni date?
Se questo è il caso, la strada migliore è probabilmente prendere il vettore nullo di A cercare un vettore invariantedi A, giusto?
E a quel punto cercare tra le combinazioni dei 2 vettori, vettore nullo e vettore invariante, uno che soddisfi la condizione data.

[anonymous_0b37e9]

Se svolgi esplicitamente i conti, dovresti determinare due sottospazi invarianti di dimensione due:

Primo sottospazio

$z=0$

Secondo sottospazio

$3x+3y-z=0$

Infatti, poiché:

$[[1,-2,1],[-1,2,0],[0,0,3]][[x],[y],[z]]=[[x-2y+z],[-x+2y],[3z]]$

si tratta di imporre che i due piani sottostanti coincidano:

$a*x+b*y+c*z=0$

$a*(x-2y+z)+b*(-x+2y)+c*3z=0$

Tuttavia, puoi determinare il primo sottospazio, quello rispetto al quale la restrizione è diagonalizzabile, anche mediante gli autovettori.

[Arcady Tsepesh]

Grazie mille per la risposta! Proverò a risolvere in questo modo dunque.

[Arcady Tsepesh]

Un'ultima domanda(probabilmente idiota).
In teoria la base dell'immagine della funzione è un sottospazio invariante, giusto? Se è così, per valutare se da essa se ne ricava o meno un sottospazio diagonalizzabile, cosa dovrei fare?

[anonymous_0b37e9]

"Arcady Tsepesh":
Proverò a risolvere in questo modo dunque.

Perdonami ma, prima di continuare la discussione, sarebbe meglio mostrare i passaggi che consentano di determinare i due piani. Insomma, anche se si tratta di pura carpenteria, per essere sicuri di non perdere delle soluzioni è necessaria una certa abilità.

Equazione del piano di partenza

$ax+by+cz=0$

Equazione del piano di arrivo

$a(x-2y+z)+b(-x+2y)+3cz=0 rarr$

$rarr (a-b)x+(-2a+2b)y+(a+3c)z=0$

Condizioni di coincidenza

Caso 1

$[a ne 0] ^^ [b ne 0] ^^ [c ne 0]$

$(a-b)/a=(-2a+2b)/b=(a+3c)/c rarr$

$rarr \{(ab-b^2=-2a^2+2ab),(ac-bc=a^2+3ac):} rarr$

$rarr \{(2a^2-ab-b^2=0),(a^2+2ac+bc=0):} rarr$

$rarr \{((2a+b)(a-b)=0),(a^2+2ac+bc=0):} rarr$

$rarr \{(2a+b=0),(a^2+2ac+bc=0):} vv \{(a-b=0),(a^2+2ac+bc=0):} rarr$

$rarr \{(b=-2a),(a^2=0):} vv \{(b=a),(a^2+3ac=0):} rarr$

$rarr \{(b=0),(a=0):} vv \{(b=a),(a(a+3c)=0):} rarr$

$rarr \{(b=0),(a=0):} vv \{(b=0),(a=0):} vv \{(b=-3c),(a=-3c):} rarr$

$rarr \{(b=-3c),(a=-3c):}$

Caso 2

$[a=0] ^^ [b ne 0] ^^ [c ne 0]$

$[a-b=0] ^^ [(-2a+2b)/b=(a+3c)/c] rarr$

$rarr b=0 rarr$

$rarr$ Non accettabile

Caso 3

$[a ne 0] ^^ [b=0] ^^ [c ne 0]$

$[-2a+2b=0] ^^ [(a-b)/a=(a+3c)/c] rarr$

$rarr a=0 rarr$

$rarr$ Non accettabile

Caso 4

$[a ne 0] ^^ [b ne 0] ^^ [c=0]$

$[a+3c=0] ^^ [(a-b)/a=(-2a+2b)/b] rarr$

$rarr a=0 rarr$

$rarr$ Non accettabile

Caso 5

$[a=0] ^^ [b=0] ^^ [c ne 0]$

$[a-b=0] ^^ [-2a+2b=0] rarr$

$rarr [a=0] ^^ [b=0]$

Caso 6

$[a=0] ^^ [b ne 0] ^^ [c=0]$

$[a-b=0] ^^ [a+3c=0] rarr$

$rarr b=0 rarr$

$rarr$ Non accettabile

Caso 7

$[a ne 0] ^^ [b=0] ^^ [c=0]$

$[-2a+2b=0] ^^ [a+3c=0] rarr$

$rarr a=0 rarr$

$rarr$ Non accettabile

In definitiva:

Caso 1

$[a ne 0] ^^ [b ne 0] ^^ [c ne 0]$

$\{(b=-3c),(a=-3c):} rarr$

$rarr -3cx-3cy+cz=0 rarr$

$rarr 3x+3y-z=0$

Caso 5

$[a=0] ^^ [b=0] ^^ [c ne 0]$

$\{(a=0),(b=0):} rarr$

$rarr cz=0 rarr$

$rarr z=0$

"Arcady Tsepesh":
In teoria ...

Sei sicuro di aver compreso i concetti fondamentali? Scusa se te lo chiedo ma, se non presti la dovuta attenzione a quello che scrivi, rischi di fare solo un gran minestrone.

[Arcady Tsepesh]

Ammetto di aver preso l'esercizio in modo abbastanza superficiale confrontando l'approccio tentato.
Di mio data la richiesta generale di un singolo sottospazio per richiesta li avevo cercato partendo da sottospazi invarianti già conosciuti.
Però sono confuso.
È sbagliato affermare che lo spazio vettoriale definito dalla base dell'immagine di una funzione è invariante rispetto alla funzione stessa?


*Intanto però la ringrazio per la pazienza(e, sopratutto, per avermi ricordato che con un po' di pazienza è possibile cercare tutti i sottospazi invarianti, senza fermarsi ai soli autospazi, nucleo e immagine di una funzione).

**Ho risolto, una volta ottenuti i due vettori invariant i per valutare se è possibile o meno diagonalizzare la funzione li ho passati nella forma canonica di Jordan associata.

[anonymous_0b37e9]

A rigore, dopo aver determinato la matrice che rappresenta la restrizione della trasformazione lineare rispetto ad una qualche base:

Primo sottospazio invariante

$z=0$

Base

$[[1],[0],[0]] ^^ [[0],[1],[0]]$

Trasformati della base

$[[1,-2,1],[-1,2,0],[0,0,3]][[1],[0],[0]]=[[1],[-1],[0]]=1*[[1],[0],[0]]-1*[[0],[1],[0]]$

$[[1,-2,1],[-1,2,0],[0,0,3]][[0],[1],[0]]=[[-2],[2],[0]]=-2*[[1],[0],[0]]+2*[[0],[1],[0]]$

Matrice

$M_1=[[1,-2],[-1,2]]$

Secondo sottospazio invariante

$3x+3y-z=0$

Base

$[[1],[0],[3]] ^^ [[0],[1],[3]]$

Trasformati della base

$[[1,-2,1],[-1,2,0],[0,0,3]][[1],[0],[3]]=[[4],[-1],[9]]=4*[[1],[0],[3]]-1*[[0],[1],[3]]$

$[[1,-2,1],[-1,2,0],[0,0,3]][[0],[1],[3]]=[[1],[2],[9]]=1*[[1],[0],[3]]+2*[[0],[1],[3]]$

Matrice

$M_2=[[4,1],[-1,2]]$

si tratta di verificare la diagonalizzabilità della matrice medesima. Poiché, nel primo caso:

$det[[1-\lambda,-2],[-1,2-\lambda]]=0 rarr$

$rarr \lambda^2-3\lambda=0 rarr$

$rarr [\lambda=0] vv [\lambda=3]$

la matrice è sicuramente diagonalizzabile. Invece, nel secondo caso:

$det[[4-\lambda,1],[-1,2-\lambda]]=0 rarr$

$rarr \lambda^2-6\lambda+9=0 rarr$

$rarr \lambda=3$

la matrice è diagonalizzabile se e solo se la molteplicità algebrica dell'autovalore è uguale a quella geometrica. Tuttavia, poiché:

rango$[[1,1],[-1,-1]]=1$

la molteplicità algebrica (2) è maggiore della molteplicità geometrica (1) e la matrice non è diagonalizzabile. Prima di concludere, vale la pena osservare che, nel primo caso, il piano è trasformato "solo" in una retta appartenente al piano medesimo.

P.S.
Il procedimento è del tipo "forza bruta". Per velocizzare i tempi, conviene determinare autovalori e autovettori della matrice 3x3 di partenza. Non ho risposto esplicitamente alle tue domande. Se ancora necessario, fammi sapere.

[Arcady Tsepesh]

Mi è stato decisamente di aiuto e credo di aver capito il procedimento più generale(che risulta comunque meno laborioso di ciò che avevo fatto io in tutta onesta, cioè costruire matrici 3 x 3 coi vettori dati e rielaborare tutto in forma di Jordan).
L'ultima cosa che vorrei chiedere è se conosce qualche eserciziario particolarmente completo da cui prendere esercizi su sottospazi i varianti et similia.
Il libro da me generalmente usato ha un totale di 3 esercizi al riguardo mettendo insieme i capitoli su coniche, matrici da diagonalizzare e applicazioni lineari, quindi mi sarebbe utile acquistare qualcosa di un po' più completo, magari anche più complesso, in vista dell'esame.
In ogni caso grazie.

[anonymous_0b37e9]

Non saprei. Tra l'altro, se non è la prima volta che qualcuno propone un esercizio del genere (restrizioni e sottospazi invarianti), poco ci manca.