Notazione di Einstein e matrice inversa
Scusate ragazzi guardate qui:
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La seconda relazione quella con $Vj=$Mj...$
A voi sembra così scontato che $m$ ed $n$ sono l'inversa dell'altro,in quanto il loro prodotto fa la matrice identica?
Grazie per le risposte perchè ci sto smattando.
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La seconda relazione quella con $Vj=$Mj...$
A voi sembra così scontato che $m$ ed $n$ sono l'inversa dell'altro,in quanto il loro prodotto fa la matrice identica?
Grazie per le risposte perchè ci sto smattando.
Risposte
Correggi il codice -_-
Cosa non si vede?Il codice è scritto proprio così $Vj=Mj..$ Perchè comunque basta cliccare sull'immagine per vedere tutto scritto bene..
Cosa c'è che non ti convince? In questo post: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#393637
abbiamo usato proprio la stessa osservazione per mostrare che una certa matrice è invertibile (vedi le ultime righe).
abbiamo usato proprio la stessa osservazione per mostrare che una certa matrice è invertibile (vedi le ultime righe).
Vediamo se ho capito provo a scriverlo a parole mie, così spiego meglio dove mi blocco.
Abbiamo uno spazio Vettoriale $X$ .
Fissiamo su di esso due basi: $V1...Vn$ , $U1...Un$.
Definiamo inanzitutto la matrice $M$ di trasformazione da $U$ a $V$:
$Vj= m^i j * Ui$ utilizzando la notazione di Einstein ,questa avrà per colonne le coordinate da dare alla vecchia base per ottenere la nuova.
Definiamo anche la matrice che si occupa di fare il lavoro inverso,sia $N$:
$Ui =n^h i*Vh $ una volta ottenute queste 2 relazioni,possiamo sostituire la seconda nella prima otenendo:
$Vj=m^i j*n^h i* Vh$ una volta arrivato qui si osserva che:
$m^i j*n^h i =I $ è il prodotto della riga i-esima di $M$ per la i-esima colonna di $N$ però poi mi sfugge il passaggio dopo, forse perchè per al membro sinistro c'è $Vj$ mentre al secondo vi è $Vh$.
Probabilmente la cosa è banale ma il caldo non mi fa ragionare.
grazie per le risposte
Abbiamo uno spazio Vettoriale $X$ .
Fissiamo su di esso due basi: $V1...Vn$ , $U1...Un$.
Definiamo inanzitutto la matrice $M$ di trasformazione da $U$ a $V$:
$Vj= m^i j * Ui$ utilizzando la notazione di Einstein ,questa avrà per colonne le coordinate da dare alla vecchia base per ottenere la nuova.
Definiamo anche la matrice che si occupa di fare il lavoro inverso,sia $N$:
$Ui =n^h i*Vh $ una volta ottenute queste 2 relazioni,possiamo sostituire la seconda nella prima otenendo:
$Vj=m^i j*n^h i* Vh$ una volta arrivato qui si osserva che:
$m^i j*n^h i =I $ è il prodotto della riga i-esima di $M$ per la i-esima colonna di $N$ però poi mi sfugge il passaggio dopo, forse perchè per al membro sinistro c'è $Vj$ mentre al secondo vi è $Vh$.
Probabilmente la cosa è banale ma il caldo non mi fa ragionare.
grazie per le risposte
Ecco l'errore, è: [tex]m^i_j\cdot n^h_i=\delta _j^h[/tex] ove [tex]\delta _j^h=\begin{cases}0\iff j\neq h\\1\iff j=h\end{cases}[/tex]!
Ma da dove proviene questo j18eos?
No, ma j18eos ha ragione: dal fatto che
[tex]V_j=m^i_jn^h_iV_h[/tex]
(ricordati che stai sommando sull'indice [tex]i[/tex]), e dal fatto che [tex]V_1...V_n[/tex] è una base, ottieni che [tex]m^i_jn^h_i=\delta^h_j[/tex]. Questa è solo una riscrittura della regola di "unicità dei coefficienti":
[tex]\lambda_1V_1+...+\lambda_nV_n=\mu_1V_1+...+\mu_nV_n \Leftrightarrow \lambda_1=\mu_1...\lambda_n=\mu_n[/tex]
che conosci certamente. Ora osserva che, date due matrici quadrate [tex]\begin{bmatrix} m^i_j \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}n^i_j \end{bmatrix}[/tex], dire che sono una l'inversa dell'altra equivale proprio a dire
[tex]m^i_jn^h_i=\delta^h_j[/tex].
Questi passaggi sono tipici del formalismo di Einstein. All'inizio disorientano ma dopo un po' ci si abitua.
[tex]V_j=m^i_jn^h_iV_h[/tex]
(ricordati che stai sommando sull'indice [tex]i[/tex]), e dal fatto che [tex]V_1...V_n[/tex] è una base, ottieni che [tex]m^i_jn^h_i=\delta^h_j[/tex]. Questa è solo una riscrittura della regola di "unicità dei coefficienti":
[tex]\lambda_1V_1+...+\lambda_nV_n=\mu_1V_1+...+\mu_nV_n \Leftrightarrow \lambda_1=\mu_1...\lambda_n=\mu_n[/tex]
che conosci certamente. Ora osserva che, date due matrici quadrate [tex]\begin{bmatrix} m^i_j \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}n^i_j \end{bmatrix}[/tex], dire che sono una l'inversa dell'altra equivale proprio a dire
[tex]m^i_jn^h_i=\delta^h_j[/tex].
Questi passaggi sono tipici del formalismo di Einstein. All'inizio disorientano ma dopo un po' ci si abitua.
Allora edge, hai ragione è domenica e stò in vacanza ma comunque ho ragione anche secondo Einstein, la prossima volta non ti risponderò di domenica!
Ora ho capito..Grazie ad entrambi .
Praticamente essendo linearmente indipendenti le basi $V$, per definizione stessa di indipendenza dovrà risultare che i coefficienti che li moltiplicano siano uguali ,di conseguenza quel prodotto di matrice dovrà risultare come un elemento neutro..
E quindi la matrice identità..
Può andare anche pensata così?
Praticamente essendo linearmente indipendenti le basi $V$, per definizione stessa di indipendenza dovrà risultare che i coefficienti che li moltiplicano siano uguali ,di conseguenza quel prodotto di matrice dovrà risultare come un elemento neutro..
E quindi la matrice identità..
Può andare anche pensata così?
No, edge, non mi piace tanto come l'hai detta. In fondo in fondo il concetto è quello, le due matrici fanno una il lavoro inverso dell'altra quindi il loro prodotto deve essere l'elemento neutro, la matrice identica. Ma la frase che hai usato è ambigua.
Mi esprimo meglio:
Essendo definita la relazione: $V_j=m^i jn^hi*Vh $, ed essendo $V_j$ indipendente con $V_h$ significa che i coefficenti debbono essere uguali e dunque poichè $Vj$ ha come coefficente $1$, il prodotto fra matrici quadrate è ancora matrice quadrata dunque l'unica matrice che renderebbe $V_h$ uguale a $V_j$ è la matrice identica..No?
Essendo definita la relazione: $V_j=m^i jn^hi*Vh $, ed essendo $V_j$ indipendente con $V_h$ significa che i coefficenti debbono essere uguali e dunque poichè $Vj$ ha come coefficente $1$, il prodotto fra matrici quadrate è ancora matrice quadrata dunque l'unica matrice che renderebbe $V_h$ uguale a $V_j$ è la matrice identica..No?
Ti stai avvicinando ma ancora non ci siamo. Non è questione di $V_h$ indipendente da $V_k$, è proprio che, essendo $V_1...V_n$ una base, da una relazione come $V_j=m_j^i n_i^hV_h$ segue che $m_j^i n_i^h={(1, h=j), (0, h!=j):}$, ovvero in forma compatta $m_j^i n_i^h=delta_j^h$.
Ma quella relazione proviene proprio dal fatto che a primo membro non vi è nulla moltiplicato (o meglio $1$) se vi era una matrice $G$ a moltiplicare a primo membro allora si poneva la moltiplicazione fra matrici a secondo membro uguale a $G$ no?
Si, ma ancora lo stai dicendo male. Quell'implicazione è il teorema dell'unicità dei coefficienti, che ho scritto prima usando la notazione estesa (e non quella di Einstein):
[tex]\lambda_1V_1+...+\lambda_nV_n=\mu_1V_1+...+\mu_nV_n \Leftrightarrow \lambda_1=\mu_1...\lambda_n=\mu_n[/tex], perché [tex]V_1...V_n[/tex] è una base.
[tex]\lambda_1V_1+...+\lambda_nV_n=\mu_1V_1+...+\mu_nV_n \Leftrightarrow \lambda_1=\mu_1...\lambda_n=\mu_n[/tex], perché [tex]V_1...V_n[/tex] è una base.
Scusate , ma se nella dimostrazione pongo $Ui=n^j i*Vj$ senza inserire l'indice $h$ e quindi ottengo:
$Vj=m^i j*n^ji*Vj $ Non cambia nulla?
$Vj=m^i j*n^ji*Vj $ Non cambia nulla?
Questo che hai scritto non saprei come interpretarlo, c'è un indice ripetuto 3 volte e un indice ripetuto 2 volte: mi pare che in questi casi ci sia ambiguità e quindi sono espressamente esclusi.
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