Norme su spazi di lebesgue

[Nebula2]

come posso vedere che $int_E f(x) dx < oo, int_E f(x)^2 dx < oo Rightarrow int_E f(x)^p dx < oo $ per $ p in (1,2)$?
grazie

[miuemia]

ma $E$ ha misura finita oppure qualsiasi?

[Nebula2]

qualsiasi.
pensi che cambi qualcosa con la misura di E?

[irenze]

basta "interpolare"
in pratica devi fare Hölder con opportuni esponenti

[Nebula2]

in verità quello che avevo era anche di più, cioè che $f in L^p$ con $p in {1} cup [2,oo)$.
da qui, usando holder, sono riuscito a dimostrare che $f in L^p$ con $p in {1} cup [\frac{1}{2}, oo)$.
poi, iterando, ho $f in [1,oo)$.
ora:
1) e giusto?
2) mi è stato detto che la dimostrazione è qualcosa di più immediato (parole testuali "lo vedi subito per interpolazione").

ma a me più "immediato" di così non è venuto in mente nulla... avrei bisogno di qualcuno che mi regali un teorema magico che non conosco...

[Luca.Lussardi]

Non mi pare sia sufficiente Holder, quello che si dimostra facilmente e' che se $f$ sta in $L^1 \cap L^2$ allora $f$ sta in $L^p$ per ogni $p \in (1,2)$. Infatti sia $A={f<1}$; allora $\int_A |f|^p<\int_A |f|<\int_E |f| <+\infty$. Se $B$ e' il complementare di $A$ in $E$ allora su $B$ vale $|f|^p <|f|^2$ perche' $p \in (1,2)$ da cui
$\int_B |f|^p < \int_B |f|^2 < \int_E |f|^2 <+\infty$. Si conclude osservando che $\int_E |f|^p=\int_A |f|^p+\int_B |f|^p$.

[Nebula2]

beh, questo sì che è decisamente immediato.

grazie luca.