Norme matriciali

[mircoFN1]

Sapete darmi le definizioni di
1) norma euclidea
2) norma L2
di una matrice?

Grazie in anticipo.

[cirasa]

Prendi ciò che ti dico con le pinze, perchè non ricordo bene.

Sia [tex]1\leq p\leq\infty[/tex]. Per ogni matrice [tex]A\in M_n(\mathbb{C})[/tex] si pone
[tex]\displaystyle \|A\|_p=\textrm{sup}_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p},[/tex]
dove [tex]\|\cdot\|_p[/tex] è la [tex]p[/tex]-norma su [tex]\mathbb{C}^n[/tex], definita da
[tex]\displaystyle \|x\|_p=\left(\sum_{k=1}^n(x_k)^p\right)^{1/p}[/tex] se [tex]p<\infty[/tex],
[tex]\displaystyle \|x\|_p=\max_{1\leq k\leq n}|x_k|[/tex] se [tex]p=\infty[/tex].
In sostanza si tratta della norma dell'operatore (limitato) [tex]A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n[/tex] definito dalla matrice [tex]A[/tex].
La norma su matrici di questo tipo dovrebbero chiamarsi norme indotte.

Detto questo, secondo me, la norma $L^2$ dovrebbe essere la norma [tex]\|\cdot\|_2[/tex], in quanto si tratta dalla norma su matrici indotta dalla norma [tex]l^2[/tex].

Per quanto riguarda la norma euclidea, probabilmente si riferisce alla norma euclidea su [tex]\mathbb{C}^{n^2}\simeq M_{n}(\mathbb{C})[/tex], definita da
[tex]\displaystyle \|A\|=\left(\sum_{i,j=1}^n(a_{i,j})^2\right)^{1/2},\ \ A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{C})[/tex].

Edit: Avevo scambiato una A con una x. Sistemato.

[dissonance]

Confermo quanto detto da cirasa. La teoria come la conosco io (cfr. Bini-Capovani-Menchi Metodi numerici per l'algebra lineare) chiama norma di matrice ogni applicazione $||*||$ dallo spazio vettoriale delle matrici (reali o complesse) $n \times n$ in $RR$ tale che:
1) $||A||>=0,$ (positività);
2) $||A||=0\ \iff\ A=0$ (non degenerazione);
3) $||lambdaA||=|lambda|||A||$ (positiva omogeneità di grado 1);
4) $||A+B||<=||A||+||B||$ (disuguaglianza triangolare);
5) $||AB||<=||A|| ||B||$ (compatibilità con il prodotto di matrici).

Le norme di matrice più importanti sono quelle indotte da norme di vettore di $RR^n$ o $CC^n$, definite come ha fatto cirasa. Non tutte le norme di matrice sono indotte da norme di vettore, però. Ad esempio la "norma euclidea" come nel post di cirasa (a.k.a. norma di Frobenius) non è indotta da alcuna norma vettoriale su $CC^n$, perché $||I||=sqrt(n)$, mentre tutte le norme indotte verificano $||I||=1$.

[mircoFN1]

grazie molte a entrambi!