Norme in $C^1([0,1], \mathbb{R})$
Nello spazio vettoriale $C^1([0,1], \mathbb{R})$ si considerino le due norme
$||f||_1 = "sup"_{x \in [0,1]} |f(x)| + "sup"_{x \in [0,1]} |f'(x)|$
$||f||_{\infty} = "sup"_{x \in [0,1]} |f(x)|$
Dato che lo spazio vettoriale considerato non ha dimensione finita non è detto che queste due norme siano equivalenti, e di fatto
$||f||_{\infty} \le ||f||_1 \quad \forall f \in C^1([0,1], \mathbb{R})$
Da questo si deduce che se una successione di funzioni converge nella norma $||\cdot||_1$ allora converge anche in $||\cdot||_{\infty}$, mentre può succedere che una successione di funzioni converga in $||\cdot||_{\infty}$ ma non in $||\cdot||_1$. E fin qui tutto ok. Ora, a riprova di ciò, mi viene detto di considerare, come esempio, questa successione di funzioni
$f_n(x) = \frac{x^n}{n} \quad x \in [0,1]$
A rigor di logica dovrebbe convergere in $||\cdot||_{\infty}$ ma non in $||\cdot||_1$... Io ho osservato che
$||f||_{\infty} = "sup"_{x \in [0,1]} |\frac{x^n}{n}| = \frac{1}{n}$ che tende a zero per $n \to +\infty$
Invece
$||f||_1 = "sup"_{x \in [0,1]} |\frac{x^n}{n}| + "sup"_{x \in [0,1]} |x^{n-1}| = \frac{1}{n} + 1$ che tende a $1$ per $n \to +\infty$
Ora, ammesso e non concesso che quello che ho scritto sia giusto e abbia un senso, che conclusioni posso trarne?
$||f||_1 = "sup"_{x \in [0,1]} |f(x)| + "sup"_{x \in [0,1]} |f'(x)|$
$||f||_{\infty} = "sup"_{x \in [0,1]} |f(x)|$
Dato che lo spazio vettoriale considerato non ha dimensione finita non è detto che queste due norme siano equivalenti, e di fatto
$||f||_{\infty} \le ||f||_1 \quad \forall f \in C^1([0,1], \mathbb{R})$
Da questo si deduce che se una successione di funzioni converge nella norma $||\cdot||_1$ allora converge anche in $||\cdot||_{\infty}$, mentre può succedere che una successione di funzioni converga in $||\cdot||_{\infty}$ ma non in $||\cdot||_1$. E fin qui tutto ok. Ora, a riprova di ciò, mi viene detto di considerare, come esempio, questa successione di funzioni
$f_n(x) = \frac{x^n}{n} \quad x \in [0,1]$
A rigor di logica dovrebbe convergere in $||\cdot||_{\infty}$ ma non in $||\cdot||_1$... Io ho osservato che
$||f||_{\infty} = "sup"_{x \in [0,1]} |\frac{x^n}{n}| = \frac{1}{n}$ che tende a zero per $n \to +\infty$
Invece
$||f||_1 = "sup"_{x \in [0,1]} |\frac{x^n}{n}| + "sup"_{x \in [0,1]} |x^{n-1}| = \frac{1}{n} + 1$ che tende a $1$ per $n \to +\infty$
Ora, ammesso e non concesso che quello che ho scritto sia giusto e abbia un senso, che conclusioni posso trarne?
Risposte
"Tipper":
Ora, ammesso e non concesso che quello che ho scritto sia giusto e abbia un senso, che conclusioni posso trarne?
Puoi dire che $f_n\to 0$ in norma $||\cdot||_{oo}$ ma non in norma $||\cdot||_1$. In particolare, le due norme non sono equivalenti.
Se dico che $f_n \to 1$ in norma $||\cdot||_1$ dico una bestialità?
Ora che ci penso credo proprio di sì...
"Tipper":
Se dico che $f_n \to 1$ in norma $||\cdot||_1$ dico una bestialità?
Si. Se $f_n\to 1$ in norma $||.||_1$, vuol dire che $||f_n-1||_1\to 0$ per $n\to oo$.
In ogni caso non esiste alcun $f\in cc C([0,1])$ t.c. $f_n\to f$ in norma $||.||_1$. Infatti, in caso contrario, $f_n\to f$ in norma $||.||_1$ implica $f_n\to f$ in norma $||.||_{oo}$, ma per unicità del limite è $f=0$, assurdo.
Grazie per l'aiuto ficus2002, penso (e spero! 
) di aver capito. Se io avessi trovato $||f_n -x_0||_1 = \frac{1}{n}$, avrei potuto subito dire che $f_n$ converge a $x_0$ in entrambe le norme, giusto?
) di aver capito. Se io avessi trovato $||f_n -x_0||_1 = \frac{1}{n}$, avrei potuto subito dire che $f_n$ converge a $x_0$ in entrambe le norme, giusto?
yes
Oh, menomale! Grazie anche a te Fioravante! 
ringraziato per 3 byte...
allora pago pegno e dico come la "vedo" io
la successione data assomiglia alla classica $x^n$, esempio standard di successione conv puntualm ma non unif, sul solito intervallo $[0,1]$
con la furbata di moltiplicala per $1/n$ la si fa sbattere uniformemente a 0
ma, se uno ha presente come si comportano le $x^n$, si rende conto che la loro derivata vicino a 1 tende a diventare "grossa"
bene, quello che accade è, semplicemente, che il fattore $1/n$ non è in geado di controbilanciare questo impennarsi della derivata
anzi, fanno proprio pari e patta
se invece moltiplicassi per $1/n^2$, allora riesco a schiacciare giù anche le derivate
allora pago pegno e dico come la "vedo" io
la successione data assomiglia alla classica $x^n$, esempio standard di successione conv puntualm ma non unif, sul solito intervallo $[0,1]$
con la furbata di moltiplicala per $1/n$ la si fa sbattere uniformemente a 0
ma, se uno ha presente come si comportano le $x^n$, si rende conto che la loro derivata vicino a 1 tende a diventare "grossa"
bene, quello che accade è, semplicemente, che il fattore $1/n$ non è in geado di controbilanciare questo impennarsi della derivata
anzi, fanno proprio pari e patta
se invece moltiplicassi per $1/n^2$, allora riesco a schiacciare giù anche le derivate
... e in questo caso mi pare che $f_n \to 0$ in entrambe le norme...
yes (tanto è già pagato)
"Tipper":
Grazie per l'aiuto ficus2002, penso (e spero!
con $x_0$ non intendi un punto $x_0 in [0,1]$ ma una funzione $x_0 in C^1([0,1],RR)$, vero?
rispondo per Tipper, che dorme ancora:
certo!
al massimo, può essere una funzione costante, definita su $[0,1]$
certo!
al massimo, può essere una funzione costante, definita su $[0,1]$
Sì certo, intendevo dire quello che ha detto Fioravante... dato che $f_n$ è una successione di funzioni a valori in $C^1([0,1], \mathbb{R})$, se converge, non può che convergere ad un elemento di $C^1([0,1], \mathbb{R})$...
PS: benché risponda solo ora, non vuol dire che mi son svegliato adesso eh.
PS: benché risponda solo ora, non vuol dire che mi son svegliato adesso eh.
"Tipper":
dato che $f_n$ è una successione di funzioni a valori in $C^1([0,1], \mathbb{R})$, se converge, non può che convergere ad un elemento di $C^1([0,1], \mathbb{R})$...
Questo non è vero per la norma $||\cdot||_{oo}$. Prendi ad esempio $f_n (x):=\sqrt(x^2+1/n)$ e $f:=|x|$. Allora $f_n\in C^1([-1,1])$, $f\notin C^1([-1,1])$, ma $||f_n-f||_{oo}\le 1/(\sqrt(n))\to 0$ per $n\to oo$.
Questo non è vero : considera la successione di funzioni $ f_n = sqrt((1/n^2)+(x-1/2)^2) $ la quale $ in C^1(0,1) $.
Con la norma del massimo $f_n rarr f $ con $f !in C^1(0,1).
Con la norma del massimo $f_n rarr f $ con $f !in C^1(0,1).
ma lo sai che non è vero?
a proposito, sei sicuro di esserti svegliato?
no, seriamente, mi sa che Tipper ha ragione
nell'esempio in cui menzionava $x_0$ faceva riferimento esplicito alla norma "$1$"
dopo l'ha semplicemente lasciato sottinteso
PS: qui altro che 3 byte! Tipper, dammi l'indirizzo che ti mando la parcella a casa!
a proposito, sei sicuro di esserti svegliato?
no, seriamente, mi sa che Tipper ha ragione
nell'esempio in cui menzionava $x_0$ faceva riferimento esplicito alla norma "$1$"
dopo l'ha semplicemente lasciato sottinteso
PS: qui altro che 3 byte! Tipper, dammi l'indirizzo che ti mando la parcella a casa!
Mah... se ho ragione è soltanto un puro caso, perché non pensavo assolutamente alle cose dette da ficus2002 e Camillo... Sono all'inizio con questi argomenti, e sinceramente son pure contento di aver detto tante e tali castronerie, almeno inizio a capire come stanno veramente le cose.
Gh...
"Fioravante Patrone":
PS: qui altro che 3 byte! Tipper, dammi l'indirizzo che ti mando la parcella a casa!
Gh...
Dovrei dimostrare che $C^1([a,b], \mathbb{R})$, se munito della metrica indotta dalla norma $||\cdot||_1$, è uno spazio di Banach.
Sulla scia di quanto fatto dal prof. in un esercizio simile ho provato a fare così. Sia $\{f_n\} \subset C^1([a,b], \mathbb{R})$ una successione di Cauchy, allora
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall n,m > n_{\epsilon}$ si ha $"sup"_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| + "sup"_{x \in [a,b]} |f_n'(x) - f_m'(x)| < \epsilon$
Se vale quanto detto, allora è anche vero che $|f_n(x) - f_m(x)| + |f_n'(x) - f_m'(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$, e a maggior ragione
$|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (1)
$|f_n'(x) - f_m'(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (2)
Fissando la $x$, $f_n(x)$ diventa una successione numerica di Cauchy a valori in $\mathbb{R}$, ma dato che $\mathbb{R}$ è uno spazio di Banach, allora converge ad un numero reale. Al variare di $x$ la $f_n(x)$ converge ad un numero reale dipendente da $x$, ovvero ad una funzione di $x$. Pertanto la successione converge $f_n$ ad una funzione $f$. Ripetendo lo stesso ragionamento per $f_n'$, si nota che tale successione converge ad una funzione $g$. Considerando (1) e (2), passando al limite per $n \to +\infty$, si può scrivere
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall m > n_{\epsilon}$ si ha $|f_m(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (3)
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall m > n_{\epsilon}$ si ha $|f_m'(x) - g(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (4)
Dunque $f_n$ e $f_n'$ convergono a $f$ e $g$ secondo la norma $||\cdot||_1$. In queste ipotesi, mi è stato detto di prendere per buono (per il momento) che $f'(x) = g(x)$. Resta ora da dimostrare che $f \in C^1([a,b], \mathbb{R})$. Per ogni $x_0 \in [a,b]$, vale
$|f'(x) - f'(x_0)| = |f'(x) - f_m'(x) + f_m'(x) - f_m'(x_0) + f_m'(x_0) - f'(x_0)| \le |f'(x) - f_m'(x)| + |f_m'(x) - f_m'(x_0)| + |f_m'(x_0) - f'(x_0)|$
Per il primo ed il terzo valore assoluto, si può sfruttare la relazione (4), scrivendo
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall m > n_{\epsilon}$ si ha $|f'(x) - f_m'(x)| < \frac{\epsilon}{3}$ e $|f_m'(x_0) - f'(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} \quad \forall x \in [a,b]$
Per il secondo valore assoluto si può considerare che $f_m$ è $C^1$ per ipotesi, e quindi
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta(\epsilon) > 0$ tale che da $|x - x_0| < \delta(\epsilon)$ segue $|f_m'(x)x - f_m'(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} \quad \forall x \in [a,b]$
e con questo si dimostra che $f'$ è continua, ovvero $f \in C^1([a,b], \mathbb{R})$.
Che ne dite, funge?
Sulla scia di quanto fatto dal prof. in un esercizio simile ho provato a fare così. Sia $\{f_n\} \subset C^1([a,b], \mathbb{R})$ una successione di Cauchy, allora
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall n,m > n_{\epsilon}$ si ha $"sup"_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| + "sup"_{x \in [a,b]} |f_n'(x) - f_m'(x)| < \epsilon$
Se vale quanto detto, allora è anche vero che $|f_n(x) - f_m(x)| + |f_n'(x) - f_m'(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$, e a maggior ragione
$|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (1)
$|f_n'(x) - f_m'(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (2)
Fissando la $x$, $f_n(x)$ diventa una successione numerica di Cauchy a valori in $\mathbb{R}$, ma dato che $\mathbb{R}$ è uno spazio di Banach, allora converge ad un numero reale. Al variare di $x$ la $f_n(x)$ converge ad un numero reale dipendente da $x$, ovvero ad una funzione di $x$. Pertanto la successione converge $f_n$ ad una funzione $f$. Ripetendo lo stesso ragionamento per $f_n'$, si nota che tale successione converge ad una funzione $g$. Considerando (1) e (2), passando al limite per $n \to +\infty$, si può scrivere
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall m > n_{\epsilon}$ si ha $|f_m(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (3)
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall m > n_{\epsilon}$ si ha $|f_m'(x) - g(x)| < \epsilon \quad \forall x \in [a,b]$ (4)
Dunque $f_n$ e $f_n'$ convergono a $f$ e $g$ secondo la norma $||\cdot||_1$. In queste ipotesi, mi è stato detto di prendere per buono (per il momento) che $f'(x) = g(x)$. Resta ora da dimostrare che $f \in C^1([a,b], \mathbb{R})$. Per ogni $x_0 \in [a,b]$, vale
$|f'(x) - f'(x_0)| = |f'(x) - f_m'(x) + f_m'(x) - f_m'(x_0) + f_m'(x_0) - f'(x_0)| \le |f'(x) - f_m'(x)| + |f_m'(x) - f_m'(x_0)| + |f_m'(x_0) - f'(x_0)|$
Per il primo ed il terzo valore assoluto, si può sfruttare la relazione (4), scrivendo
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}$ tale che $\forall m > n_{\epsilon}$ si ha $|f'(x) - f_m'(x)| < \frac{\epsilon}{3}$ e $|f_m'(x_0) - f'(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} \quad \forall x \in [a,b]$
Per il secondo valore assoluto si può considerare che $f_m$ è $C^1$ per ipotesi, e quindi
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta(\epsilon) > 0$ tale che da $|x - x_0| < \delta(\epsilon)$ segue $|f_m'(x)x - f_m'(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} \quad \forall x \in [a,b]$
e con questo si dimostra che $f'$ è continua, ovvero $f \in C^1([a,b], \mathbb{R})$.
Che ne dite, funge?
"Tipper":
In queste ipotesi, mi è stato detto di prendere per buono (per il momento) che $f'(x) = g(x)$.
Non ho controllato la correttezza delle considerazioni fatte da Tipper. Perché voglio dire un'altra cosa.
Ok a "prendere momentaneamente per buono", però è la parte succulenta del discorso. Il resto è sostanzialmente osservare che $C^0$ è completo con la noma del sup. Farlo una volta o due non è che si suda molto di più.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo