Norme e Basi vettoriali
Buongiorno a tutti,
avrei una domanda riguardo il legame fra la norma in uno spazio vettoriale e la base scelta.
Quando vengono definite tutte le norme "tradizionali" tipo la norma euclidea, la norma 1 e la norma infinito, esse vengono definite come funzioni delle "componenti" di $x$ ad esempio : $$||x||_1=\sum _{i=1}^{n}|x_i|$$
Però le componenti di un vettore dipendo dalla base scelta, quindi in generale esistono infinite norme euclidee , infinite norme infinito ecc. una per ogni possibile scelta della base, è corretto?
A questo punto, quando ho uno spazio vettoriale, e lo voglio normare con una delle norme tradizionali, cosa sto facendo?
Sto implicitamente fissando la base canonica su quello spazio per definire la norma, anche se poi scelgo un'altra base?
O sto fissando sempre implicitamente una base generica e la norma è definita rispetto a quella base generica scelta?
Me lo chiedo perché secondo me le norme tradizionali dipendono dalla base scelta, però in ogni testo che ho letto nessuno si sofferma a fissare una base prima di definire una norma e in generale secondo me bisognerebbe prima fissare una base per definire la norma, altrimenti dire le "componenti di un vettore" non ha senso...
grazie per il vostro tempo
avrei una domanda riguardo il legame fra la norma in uno spazio vettoriale e la base scelta.
Quando vengono definite tutte le norme "tradizionali" tipo la norma euclidea, la norma 1 e la norma infinito, esse vengono definite come funzioni delle "componenti" di $x$ ad esempio : $$||x||_1=\sum _{i=1}^{n}|x_i|$$
Però le componenti di un vettore dipendo dalla base scelta, quindi in generale esistono infinite norme euclidee , infinite norme infinito ecc. una per ogni possibile scelta della base, è corretto?
A questo punto, quando ho uno spazio vettoriale, e lo voglio normare con una delle norme tradizionali, cosa sto facendo?
Sto implicitamente fissando la base canonica su quello spazio per definire la norma, anche se poi scelgo un'altra base?
O sto fissando sempre implicitamente una base generica e la norma è definita rispetto a quella base generica scelta?
Me lo chiedo perché secondo me le norme tradizionali dipendono dalla base scelta, però in ogni testo che ho letto nessuno si sofferma a fissare una base prima di definire una norma e in generale secondo me bisognerebbe prima fissare una base per definire la norma, altrimenti dire le "componenti di un vettore" non ha senso...
grazie per il vostro tempo
Risposte
E se per ogni base che scelgo normalizzassi i vettori che la compongono?
@Bokonon: Per normalizzare devi prima aver fissato una norma.
Bossmer ha ragione, nel senso che scegliendo un'altra base \(E=(e_1, e_2, \ldots e_n)\) di \(\mathbb R^n\), e definendo
\[
\|x_1e_1+\ldots +x_n e_n\|_{p, E}^p:=\sum_{j=1}^n |x_j|^p, \]
si ottiene una norma che è in generale diversa dalla norma \(p\) usuale. Nel caso della norma 2, questo corrisponde a scegliere un diverso prodotto scalare su \(\mathbb R^n\). Tale prodotto scalare si porterà appresso una norma, che corrisponde a \(\|\cdot\|_{2, E}\) se \(E\) è una base ortonormale.
È vero che questa cosa non si dice molto, ma è piuttosto facile. Per \(p=2\), è una cosa rilevante in geometria Riemanniana, dove ci sono tanti spazi vettoriali, uno per ogni punto della varietà, e su ognuno di essi c'è un prodotto scalare, e quindi una norma. (Per \(p\ne 2\), c'è gente che studia la geometria di Finsler, la versione \(\ell^p\) della geometria Riemanniana, ma non ho idea dell'utilità di questa roba).
Bossmer ha ragione, nel senso che scegliendo un'altra base \(E=(e_1, e_2, \ldots e_n)\) di \(\mathbb R^n\), e definendo
\[
\|x_1e_1+\ldots +x_n e_n\|_{p, E}^p:=\sum_{j=1}^n |x_j|^p, \]
si ottiene una norma che è in generale diversa dalla norma \(p\) usuale. Nel caso della norma 2, questo corrisponde a scegliere un diverso prodotto scalare su \(\mathbb R^n\). Tale prodotto scalare si porterà appresso una norma, che corrisponde a \(\|\cdot\|_{2, E}\) se \(E\) è una base ortonormale.
È vero che questa cosa non si dice molto, ma è piuttosto facile. Per \(p=2\), è una cosa rilevante in geometria Riemanniana, dove ci sono tanti spazi vettoriali, uno per ogni punto della varietà, e su ognuno di essi c'è un prodotto scalare, e quindi una norma. (Per \(p\ne 2\), c'è gente che studia la geometria di Finsler, la versione \(\ell^p\) della geometria Riemanniana, ma non ho idea dell'utilità di questa roba).
Ecco una discussione vecchia di più di 10 anni su una conseguenza poco intuitiva di quanto detto in questo thread.
viewtopic.php?p=227418#p227418
Il succo è: esiste una norma \(\|\cdot\|\) su \(\mathbb R^2\) tale che \(\|(0, 1)\|>\|(1,1)\|\). Uno penserebbe che \((1,1)\) è sempre più grande di \((0,1)\), no? E invece no.
viewtopic.php?p=227418#p227418
Il succo è: esiste una norma \(\|\cdot\|\) su \(\mathbb R^2\) tale che \(\|(0, 1)\|>\|(1,1)\|\). Uno penserebbe che \((1,1)\) è sempre più grande di \((0,1)\), no? E invece no.
Innanzi tutto grazie per la risposta, e anche per la discussione che hai linkato, molto interessante.
Beh no uno non dovrebbe pensarlo, ahahaah, altrimenti si potrebbe creare un ordinamento su $R^2$ o sbaglio?!
Inoltre per creare una norma che mostri quello che dici basta prendere l'equazione dell'ellisse, visto che ogni ellisse centrato nell'origine definisce una norma, basta prendere un'ellisse che contenga al suo interno il punto $(1,1)$, ma tale per cui $(0,1)$ sia al di fuori di tale ellisse, et voilà, ed esempio la norma
$$||v||=\frac{9}{4}x^2+\frac{9}{4}y^2-\frac{7}{2}xy$$ è un esempio di norma per cui $||(1;1)||< ||(0;1)||$
In ogni caso, tornando a noi ho ancora un dubbio di tipo "convenzionistico"(sempre che questa parola esista XD).
A quanto mi sembra di capire quindi quando si parla delle norme tradizionali tipo la norma $p$ si intende quella riferita alla base canonica(o comunque a una base ortonormale) e non a una base generica giusto? ad esempio la norma $||\cdot||_1$ la posso chiamare così solo se è quella riferita ad una base ortonormale, altrimenti non ha più quella notazione giusto? e così anche la norma euclidea, la posso chiamare norma euclidea solo se intendo quella forma funzionale applicata alle componenti del vettore rispetto ad una base ortonormale? Quindi ad esempio con "norma euclidea" non si intende quella specifica forma funzionale, ma si intende quella specifica forma funzionale rispetto alla base canonica è corretto?(forse è posta un po' male la domanda, ma spero si capisca
)
Inoltre se per qualunque ragione io cambio base al mio spazio vettoriale, dovrei attribuirgli una nuova norma?(nel caso generale di cambio di base qualunque)
"dissonance":
Uno penserebbe che \((1,1)\) è sempre più grande di \((0,1)\), no? E invece no.
Beh no uno non dovrebbe pensarlo, ahahaah, altrimenti si potrebbe creare un ordinamento su $R^2$
o sbaglio?!Inoltre per creare una norma che mostri quello che dici basta prendere l'equazione dell'ellisse, visto che ogni ellisse centrato nell'origine definisce una norma, basta prendere un'ellisse che contenga al suo interno il punto $(1,1)$, ma tale per cui $(0,1)$ sia al di fuori di tale ellisse, et voilà, ed esempio la norma
$$||v||=\frac{9}{4}x^2+\frac{9}{4}y^2-\frac{7}{2}xy$$ è un esempio di norma per cui $||(1;1)||< ||(0;1)||$
In ogni caso, tornando a noi ho ancora un dubbio di tipo "convenzionistico"(sempre che questa parola esista XD).
"Bossmer":
A questo punto, quando ho uno spazio vettoriale, e lo voglio normare con una delle norme tradizionali, cosa sto facendo?
Sto implicitamente fissando la base canonica su quello spazio per definire la norma, anche se poi scelgo un'altra base?
O sto fissando sempre implicitamente una base generica e la norma è definita rispetto a quella base generica scelta?
A quanto mi sembra di capire quindi quando si parla delle norme tradizionali tipo la norma $p$ si intende quella riferita alla base canonica(o comunque a una base ortonormale) e non a una base generica giusto? ad esempio la norma $||\cdot||_1$ la posso chiamare così solo se è quella riferita ad una base ortonormale, altrimenti non ha più quella notazione giusto? e così anche la norma euclidea, la posso chiamare norma euclidea solo se intendo quella forma funzionale applicata alle componenti del vettore rispetto ad una base ortonormale? Quindi ad esempio con "norma euclidea" non si intende quella specifica forma funzionale, ma si intende quella specifica forma funzionale rispetto alla base canonica è corretto?(forse è posta un po' male la domanda, ma spero si capisca
)Inoltre se per qualunque ragione io cambio base al mio spazio vettoriale, dovrei attribuirgli una nuova norma?(nel caso generale di cambio di base qualunque)
"Bossmer":
Innanzi tutto grazie per la risposta, e anche per la discussione che hai linkato, molto interessante.
[quote="dissonance"]
Uno penserebbe che \((1,1)\) è sempre più grande di \((0,1)\), no? E invece no.
Beh no uno non dovrebbe pensarlo, ahahaah, altrimenti si potrebbe creare un ordinamento su $R^2$
o sbaglio?![/quote]
Ma non lo so, il mio ragionamento è molto più terra-terra: per le norme \(p\), è ovviamente vero che se una componente aumenta (in valore assoluto), allora la norma di tutto il vettore aumenta. Ed è una cosa che uno si aspetterebbe, o perlomeno, io me la aspetterei, di primo acchito.
Inoltre per creare una norma che mostri quello che dici basta prendere l'equazione dell'ellisse, visto che ogni ellisse centrato nell'origine definisce una norma, basta prendere un'ellisse che contenga al suo interno il punto $(1,1)$, ma tale per cui $(0,1)$ sia al di fuori di tale ellisse, et voilà, ed esempio la norma
$$||v||=\frac{9}{4}x^2+\frac{9}{4}y^2-\frac{7}{2}xy$$ è un esempio di norma per cui $||(1;1)||< ||(0;1)||$
Certo, è proprio quella l'idea del post linkato.
"Bossmer":
A quanto mi sembra di capire quindi quando si parla delle norme tradizionali tipo la norma $p$ si intende quella riferita alla base canonica(o comunque a una base ortonormale) e non a una base generica giusto? ad esempio la norma $||\cdot||_1$ la posso chiamare così solo se è quella riferita ad una base ortonormale, altrimenti non ha più quella notazione giusto? e così anche la norma euclidea, la posso chiamare norma euclidea solo se intendo quella forma funzionale applicata alle componenti del vettore rispetto ad una base ortonormale? Quindi ad esempio con "norma euclidea" non si intende quella specifica forma funzionale, ma si intende quella specifica forma funzionale rispetto alla base canonica è corretto?(forse è posta un po' male la domanda, ma spero si capisca
Queste non sono proprio vere domande, ben strutturate, sono più che altro un "rant" impreciso. Le definizioni sono chiare, e sono espresse in termini di coefficienti dei vettori, ovvero, di coefficienti rispetto alla base canonica di \(\mathbb R^n\). Abbiamo già discusso del fatto che tali definizioni non sono indipendenti dalla scelta di una base. Non c'è altro da aggiungere, a meno che tu non formuli una domanda più precisa.
"dissonance":
Queste non sono proprio vere domande, ben strutturate, sono più che altro un "rant" impreciso. Le definizioni sono chiare, e sono espresse in termini di coefficienti dei vettori, ovvero, di coefficienti rispetto alla base canonica di \(\mathbb R^n\). Abbiamo già discusso del fatto che tali definizioni non sono indipendenti dalla scelta di una base. Non c'è altro da aggiungere, a meno che tu non formuli una domanda più precisa.
Si in effetti hai ragione, e ripensandoci mi sono già risposto da solo.
Tuttavia non mi è ancora chiaro cosa debba fare nel caso io abbia ad esempio uno spazio normato con la norma euclidea, e per qualche ragione io voglia fare un cambiamento di base generico. Nel momento in cui fisso una nuova base cosa sto facendo di preciso? e cosa succede alla norma che avevo definito prima? ne devo definire un'altra perché non ho più la base canonica? quindi quando cambio base, implicitamente sto creando un nuovo spazio normato?
"arnett":
Incidentalmente: $\mathbb{R}^2$ può essere ordinato. Poi che nessun ordine che si definisca su di $\mathbb{R}^2$ coincida con un ordine "naturale", qualsiasi cosa voglia dire questo termine, come nel caso dell'ordinamento standard di $\mathbb{R}$, è un altro discorso. dissonance parlava di grandezza in norma (no?)
No $R^2$ non è un insieme totalmente ordinato, e non c'è modo di ordinarlo totalmente in nessun modo. Puoi creare delle relazioni d'ordine parziali al massimo, in modo da ottenere che un punto sia maggiore o minore di un altro, ma qualunque relazione d'ordine tu possa creare questa non varrà per tutto il piano. In ogni caso stiamo andando fuori topic ahahah
[ot]Infatti esistono ordini di tutti i tipi su \(\mathbb R^2\) e \(\mathbb R^n\). Quello che non esiste è un ordine compatibile con le operazioni.[/ot]
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