Normalizzare dei vettori.
ciao a tutti ! ho dei dubbi con un esercizio di geometria 2.
Data la forma quadratica $ \Phi=5x^2-y^2+z^2+4xy+6xz $
si deve ricondurre a forma canonica mediante una trasformazione ortogonale.
Quindi mi sono scritta la matrice associata
$ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 ,-1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $
calcolando e scomponendo il suo polinomio minimo, esso viene
$ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 ,-1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $ $ -lambda(lambda+2)(lambda-7) $
con autovalori $ 0, -2, 7 $. Ora calcolando gli autospazi di questi autovalori essi sono
$ V0=<(-1,-2,3)>
V-2= <(-1,2,1)>
V7= <(4,1,2)> $
questi vettori sono ortogonali perchè relativi ad autospazi diversi. Devo quindi normalizzarli.
Ora il mio professore ha detto che è sbagliato calcolare la norma di un vettore con la definizione classica
(radice della somma dei quadrati di ogni componente) in questo caso, perchè la base non è canonica
Quindi in base a quello che ho studiato ho calcolato la norma facendo
$ ||ei||=\sqrt(\Phi(ei) $
Ma facendo così, a meno che non ho sbagliato i calcoli,
viene che la norma di e1 è 0, e quella di e2 è la radice di un numero negativo
come è possibile questa cosa? dove sbaglio?
Data la forma quadratica $ \Phi=5x^2-y^2+z^2+4xy+6xz $
si deve ricondurre a forma canonica mediante una trasformazione ortogonale.
Quindi mi sono scritta la matrice associata
$ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 ,-1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $
calcolando e scomponendo il suo polinomio minimo, esso viene
$ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 ,-1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $ $ -lambda(lambda+2)(lambda-7) $
con autovalori $ 0, -2, 7 $. Ora calcolando gli autospazi di questi autovalori essi sono
$ V0=<(-1,-2,3)>
V-2= <(-1,2,1)>
V7= <(4,1,2)> $
questi vettori sono ortogonali perchè relativi ad autospazi diversi. Devo quindi normalizzarli.
Ora il mio professore ha detto che è sbagliato calcolare la norma di un vettore con la definizione classica
(radice della somma dei quadrati di ogni componente) in questo caso, perchè la base non è canonica
Quindi in base a quello che ho studiato ho calcolato la norma facendo
$ ||ei||=\sqrt(\Phi(ei) $
Ma facendo così, a meno che non ho sbagliato i calcoli,
viene che la norma di e1 è 0, e quella di e2 è la radice di un numero negativo
come è possibile questa cosa? dove sbaglio?
Risposte
come normalizzare un vettore
prendi il tuo vettore. $\ul(v)=((-1),(-2),(3))$
un vettore normalizzato ha norma 1, per cui dobbiamo arrivare a questo risultato $ ||\ul(v)||=1 $
semplicissimo
calcoliamo la norma del vettore $ ||\ul v ||=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14} $
ok a questo punto dividiamo il vettore per la sua norma ed il gioco è fatto
$ \ul v=(1)/(\sqrt{14})((-1),(-2),(3))=(((-1)/(\sqrt{14})),((-2)/(\sqrt{14})),((3)/(\sqrt{14}))) $
ora ti accorgerai che il tuo vettore, che hai appena trovato, ha norma 1
IN GENERALE per normalizzare un vettore
sia $\ul v = \ul w$, ove $\ul w =((x),(y), (z))$
il suo vettore normalizzato è $\ul(v)=(\ul w)/(||\ul w ||)$, ove $||\ul w ||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
ah e le norme delle basi canoniche, sono già normalizzate, poichè per esempio $e_1=((1),(0),(0))$ ti puoi accorgere che la sua norma è 1
per cui tutti i vettori della base canonica, sono vettori di norma 1
prendi il tuo vettore. $\ul(v)=((-1),(-2),(3))$
un vettore normalizzato ha norma 1, per cui dobbiamo arrivare a questo risultato $ ||\ul(v)||=1 $
semplicissimo
calcoliamo la norma del vettore $ ||\ul v ||=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14} $
ok a questo punto dividiamo il vettore per la sua norma ed il gioco è fatto
$ \ul v=(1)/(\sqrt{14})((-1),(-2),(3))=(((-1)/(\sqrt{14})),((-2)/(\sqrt{14})),((3)/(\sqrt{14}))) $
ora ti accorgerai che il tuo vettore, che hai appena trovato, ha norma 1
IN GENERALE per normalizzare un vettore
sia $\ul v = \ul w$, ove $\ul w =((x),(y), (z))$
il suo vettore normalizzato è $\ul(v)=(\ul w)/(||\ul w ||)$, ove $||\ul w ||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
ah e le norme delle basi canoniche, sono già normalizzate, poichè per esempio $e_1=((1),(0),(0))$ ti puoi accorgere che la sua norma è 1
per cui tutti i vettori della base canonica, sono vettori di norma 1
grazie 21zuclo, sapevo di questo procedimento. quindi tu intendi che la base dell'esercizio sia canonica no?
"Marthy_92":
grazie 21zuclo, sapevo di questo procedimento. quindi tu intendi che la base dell'esercizio sia canonica no?
se non è specificato dall'esercizio, si sottointende la base canonica di $ RR^n $. esatto!
Ok, chiarissimo ! grazie mille ! 
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