Normali di superficie regolare
Non so quanto sia nota la definizione di superficie regolare...xo proviamo:
Dimostrare che: se tutte le normali di una superfice regolare connessa si incrociano in un punto fisso, allora questa superficie è contenuta in una sfera.
Cosi ad occhio una superficie del genere dev essere molto simile alla sfera (anche se la sfera è l'unica che mi immagino per ora); xò come poter affrontare il problema formalmente?
Dimostrare che: se tutte le normali di una superfice regolare connessa si incrociano in un punto fisso, allora questa superficie è contenuta in una sfera.
Cosi ad occhio una superficie del genere dev essere molto simile alla sfera (anche se la sfera è l'unica che mi immagino per ora); xò come poter affrontare il problema formalmente?
Risposte
Farei così.
Consideriamo la parametrizzazione :
x = (u, v, f(u,v)) .
Si ha :
x_u = (1, 0, f_u)
x_v = (0, 1, f_v)
n = x_u ^ x_v = (-f_u, -f_v, 1)
dove "_" indica la derivata parziale.
Deve essere :
n ^ x = 0 .
Da questa si ricava :
f_v * f + v = 0
f_u * f + u = 0
f_u * v - f_v * u = 0 .
La terza è dipendente dalle prime due.
Integrando le prime due si ottiene :
f = sqrt(-u^2 - v^2 + k)
che è appunto una sfera.
Arrigo.
Consideriamo la parametrizzazione :
x = (u, v, f(u,v)) .
Si ha :
x_u = (1, 0, f_u)
x_v = (0, 1, f_v)
n = x_u ^ x_v = (-f_u, -f_v, 1)
dove "_" indica la derivata parziale.
Deve essere :
n ^ x = 0 .
Da questa si ricava :
f_v * f + v = 0
f_u * f + u = 0
f_u * v - f_v * u = 0 .
La terza è dipendente dalle prime due.
Integrando le prime due si ottiene :
f = sqrt(-u^2 - v^2 + k)
che è appunto una sfera.
Arrigo.
Grazie Arrigo.
Ho qualche qualche domanda però...ma una sola per adesso:
perché puoi considerare quella parametrizzazione?
localmente penso ci sia un teorema che dica che ogni superfice regolare è parametrizzabile tramite un grafo del genere. Però il fatto che sia locale credo che potrebbe complicare la storia, o no?
Ho qualche qualche domanda però...ma una sola per adesso:
perché puoi considerare quella parametrizzazione?
localmente penso ci sia un teorema che dica che ogni superfice regolare è parametrizzabile tramite un grafo del genere. Però il fatto che sia locale credo che potrebbe complicare la storia, o no?
Sì, LeeV, un noto teorema afferma che una superficie regolare può essere localmente parametrizzata in quel modo.
Il teorema che hai proposto è invece un teorema globale, non locale ... che invoca anche il concetto di connessione ... Anch'io ho avuto la stessa tua perpelssità, ma ho pensato che una soluzione locale è già un primo passo.
Una soluzione globale, potrebbe essere ricercata "intersecando" tutti i possibili aperti connessi che si possono prendere sulla superficie in questione, in qualche modo "massimalizzare" la questione.
Comunque, da fisico, sono soddisfatto della soluzione locale ... Che ne pensano i matematici ?
Ciao. Arrigo.
Il teorema che hai proposto è invece un teorema globale, non locale ... che invoca anche il concetto di connessione ... Anch'io ho avuto la stessa tua perpelssità, ma ho pensato che una soluzione locale è già un primo passo.
Una soluzione globale, potrebbe essere ricercata "intersecando" tutti i possibili aperti connessi che si possono prendere sulla superficie in questione, in qualche modo "massimalizzare" la questione.
Comunque, da fisico, sono soddisfatto della soluzione locale ... Che ne pensano i matematici ?
Ciao. Arrigo.
Così dovrebbe essere meglio.
Se una superficie regolare è connessa, ogni coppia di suoi punti è "collegabile" da una curva regolare giacente sulla superficie stessa.
Chiamiamo r(t) una di queste curve.
Si ha :
= 0
= |r|
dove l'apice indica la derivata rispetto a t ed essendo |N| = 1
Derivando la seconda espressione, ricaviamo :
+ = d/dt |r|.
Da questa si ricava :
d/dt |r| = 0
ricordando in particolare che r ed N' sono ortogonali.
Ricaviamo allora :
|t| = costante
e questo si ha solo se la superficie giace su una sfera.
Così, se non ho commesso errori, si dimostra in maniera completa l'asserto senza il problema delle parametrizzazioni della superficie e considerando fondamentale la connessione.
Arrigo.
Se una superficie regolare è connessa, ogni coppia di suoi punti è "collegabile" da una curva regolare giacente sulla superficie stessa.
Chiamiamo r(t) una di queste curve.
Si ha :
dove l'apice indica la derivata rispetto a t ed essendo |N| = 1
Derivando la seconda espressione, ricaviamo :
Da questa si ricava :
d/dt |r| = 0
ricordando in particolare che r ed N' sono ortogonali.
Ricaviamo allora :
|t| = costante
e questo si ha solo se la superficie giace su una sfera.
Così, se non ho commesso errori, si dimostra in maniera completa l'asserto senza il problema delle parametrizzazioni della superficie e considerando fondamentale la connessione.
Arrigo.
ciao,
ci sono alcune cose che non capisco:
perché=0 e =|r|?
r è la curba che collega i due punti, e N la normale applicata dove?
Dove è utilizzato il fatto che le normali si incontrano in un punto fisso?
thanks!!
ci sono alcune cose che non capisco:
perché
r è la curba che collega i due punti, e N la normale applicata dove?
Dove è utilizzato il fatto che le normali si incontrano in un punto fisso?
thanks!!
r(t) è una curva parametrica regolare che giace sulla superficie in questione.
Il vettore normale N (funzione di t ed a norma unitaria) è "applicato" ad ogni punto della curva r.
=0 significa che il vettore r' = d/dt r (tangente ad r) è perpendicolare ad N e questo in tutti i punti di r.
=|r| perchè r ed N sono allineati (è qui che sfrutto il fatto che le direzioni dei vettori N si incontrano in un punto fisso) ed N ha norma 1.
Ovviamente (l'ho dato per scontato ... se no=|r| non funzionerebbe ...) ho posto il vertice del sistema cartesiano ortogonale tridimensionale di riferimento proprio nel punto fisso d'incontro di tutte le direzioni di N (e questo non comporta perdita di generalità).
Spero di essere stato chiaro e corretto.
Arrigo.
Il vettore normale N (funzione di t ed a norma unitaria) è "applicato" ad ogni punto della curva r.
Ovviamente (l'ho dato per scontato ... se no
Spero di essere stato chiaro e corretto.
Arrigo.
Un altro modo.
= 0
N = r / |r| .
Allora :
= 0 .
Ma :
d/dt (|r|^2) = d/dt = 2 = 0
da cui :
|r| = costante.
N = r / |r| .
Allora :
Ma :
d/dt (|r|^2) = d/dt
da cui :
|r| = costante.
son scettico riguardo ad alcune cose...però ci rifletto ancora meglio domani..
comunque grazie ancora arrigo!!
ciao!
comunque grazie ancora arrigo!!
ciao!
Questo grafico può chiarire le cose :
Ma se r è allineato a N e e sono le normali di N (quindi di norma 1), implica che la sfera sarà di raggio minore o uguale a 1?
Comunque mi è stato consigliato anche un altro metodo, del quale però mi sfugge qualche dettaglio:
Si considera la funzione $f(x) = x^2 + y^2 +z^2 - R$ sulla superficie regolare;
abbiamo che per un vettore $v$ tangente ad un punto $x$ della superficie, $\frac{\partial f(x)}{\partial v} = 0$
E fino a qua sono d'accordo. Però avere la derivata nella direzione di $v$ uguale a zero, ed avendola per tutti gli $x$ della superficie, basta per poter affermare che quindi la funzione è (localmente) costante? Da quel che ho capito sì, ma perché?
Comunque mi è stato consigliato anche un altro metodo, del quale però mi sfugge qualche dettaglio:
Si considera la funzione $f(x) = x^2 + y^2 +z^2 - R$ sulla superficie regolare;
abbiamo che per un vettore $v$ tangente ad un punto $x$ della superficie, $\frac{\partial f(x)}{\partial v} = 0$
E fino a qua sono d'accordo. Però avere la derivata nella direzione di $v$ uguale a zero, ed avendola per tutti gli $x$ della superficie, basta per poter affermare che quindi la funzione è (localmente) costante? Da quel che ho capito sì, ma perché?
nessuno che sa dirmi qualcosa sulle conseguenze di questa derivata nella direzione di $v$ nulla?
Purtroppo, sull'ipotesi di soluzione che hai proposto non ci capisco gran chè. La dovresti formalizzare con maggiore rigore ... oppure io sono abituato ad un altro formalismo ...
Sono però convinto, fino a prova contraria, che la mia terza ipotesi di soluzione è corretta e molto semplice (ed anche, perchè no, elegante ...).
Sono però convinto, fino a prova contraria, che la mia terza ipotesi di soluzione è corretta e molto semplice (ed anche, perchè no, elegante ...).
Sisi, niente contro la tua soluzione
Però visto che mi il mio prof mi aveva dato quest'altro spunto...
Ma ora mi spiego un pochino meglio, l'idea è di dimostrare che al funzione $f(x) = x^2 + y^2 + z^3 - C$ è costante per tutti i punti $(x,y,z)$ della superficie...questo proverebbe direttamente che la superficie è parte di una sfera.
Quindi, anche in questo caso si esamina la derivata di $f$, ma in questo caso la derivata direzionale di $f$ rispetto al vettore $v$ ortogonale alla superficie. Risulta che questa derivata è uguale a 0.
E da qui si potrebbe trarre la conseguenza che, visto che è vero per tutti i punti della superficie, allora $f$ è localmente costante e visto che la superficie è connessa, allora $f$ è costante.
Ma quello che io non capisco è perché è sufficiente considerare la derivata in quella direzione.
Però visto che mi il mio prof mi aveva dato quest'altro spunto...
Ma ora mi spiego un pochino meglio, l'idea è di dimostrare che al funzione $f(x) = x^2 + y^2 + z^3 - C$ è costante per tutti i punti $(x,y,z)$ della superficie...questo proverebbe direttamente che la superficie è parte di una sfera.
Quindi, anche in questo caso si esamina la derivata di $f$, ma in questo caso la derivata direzionale di $f$ rispetto al vettore $v$ ortogonale alla superficie. Risulta che questa derivata è uguale a 0.
E da qui si potrebbe trarre la conseguenza che, visto che è vero per tutti i punti della superficie, allora $f$ è localmente costante e visto che la superficie è connessa, allora $f$ è costante.
Ma quello che io non capisco è perché è sufficiente considerare la derivata in quella direzione.
Allora, potrebbe essere così :
Sia :
$f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+c$ .
Si ha :
$f' = f_x*x' + f_y*y' + f_z*z' = 2<(x,y,z) , (x',y',z')> = 0 ,
dove con l'apice si intende la derivata totale rispetto al parametro t,
ergo :
$f = costante$.
Sia :
$f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2+c$ .
Si ha :
$f' = f_x*x' + f_y*y' + f_z*z' = 2<(x,y,z) , (x',y',z')> = 0 ,
dove con l'apice si intende la derivata totale rispetto al parametro t,
ergo :
$f = costante$.
Si, forse ha piu senso vederla cosi;
grazie!!
grazie!!
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