Norma rispetto ad una forma bilineare
Salve a tutti,
ho un problema rispetto al quale non sono riuscito a trovare una soluzione, il problema è il seguente:
Sia data in $R^3$ una forma bilineare simmetrica $F$ associata rispetto alla base canonica alla matrice $A = ((1,0,0),(0,1,1),(0,1,2))$, si vede subito che $F$ è un prodotto scalare in quanto definita positiva.
Ciò detto, sia adesso dato il sottospazio $V ={(x,y,z) | x+y =0}$ in $R^3$, trovata una base ortogonale di $V$ e di $U$ dove $U$ è il complemento ortogonale di $V$, con rispettivamente $ v_1 = (0,0,1), v_2 = (2,-2,1)$ e $u = (-1,2,-1)$, tutto ovviamente rispetto ad $F$, adesso devo trovare la base ortonormale di $R^3$ che è ovviamente costituita dai vettori trovati divisi per le loro rispettive norme (rispetto ad F).
Ora il punto è proprio quest'ultimo, come si fa a trovare la norma rispetto ad $F$?
Non ho proprio capito il metodo e la teoria. Ho provato a moltiplicare i vettori trovati ad $A$, ma non mi tornano i calcoli.
Il risultato dovrebbe essere : $v'_1 = v_1/sqrt(2), v'_2 = v_2/sqrt(6), u' = u/sqrt(3)$
Qualche consiglio?
Grazie in anticipo.
Emanuele
ho un problema rispetto al quale non sono riuscito a trovare una soluzione, il problema è il seguente:
Sia data in $R^3$ una forma bilineare simmetrica $F$ associata rispetto alla base canonica alla matrice $A = ((1,0,0),(0,1,1),(0,1,2))$, si vede subito che $F$ è un prodotto scalare in quanto definita positiva.
Ciò detto, sia adesso dato il sottospazio $V ={(x,y,z) | x+y =0}$ in $R^3$, trovata una base ortogonale di $V$ e di $U$ dove $U$ è il complemento ortogonale di $V$, con rispettivamente $ v_1 = (0,0,1), v_2 = (2,-2,1)$ e $u = (-1,2,-1)$, tutto ovviamente rispetto ad $F$, adesso devo trovare la base ortonormale di $R^3$ che è ovviamente costituita dai vettori trovati divisi per le loro rispettive norme (rispetto ad F).
Ora il punto è proprio quest'ultimo, come si fa a trovare la norma rispetto ad $F$?
Non ho proprio capito il metodo e la teoria. Ho provato a moltiplicare i vettori trovati ad $A$, ma non mi tornano i calcoli.
Il risultato dovrebbe essere : $v'_1 = v_1/sqrt(2), v'_2 = v_2/sqrt(6), u' = u/sqrt(3)$
Qualche consiglio?
Grazie in anticipo.
Emanuele
Risposte
La norma è data dalla radice quadrata del trasformato tramite $F$ del vettore con se stesso (o che è lo stesso la radice quadrata del trasformato del vettore attraverso la forma quadratica associata a $F$), quindi
$||\vec{v}_{1}||=\sqrt{F(\vec{v}_{1},\vec{v}_{1})}=\sqrt{v_{1}^{t}Av_{1}}=\sqrt{2}$
$||\vec{v}_{2}||=\sqrt{F(\vec{v}_{2},\vec{v}_{2})}=\sqrt{v_{2}^{t}Av_{2}}=\sqrt{6}$
$||\vec{v}_{3}||=\sqrt{F(\vec{v}_{3},\vec{v}_{3})}=\sqrt{v_{3}^{t}Av_{3}}=\sqrt{3}$
$||\vec{v}_{1}||=\sqrt{F(\vec{v}_{1},\vec{v}_{1})}=\sqrt{v_{1}^{t}Av_{1}}=\sqrt{2}$
$||\vec{v}_{2}||=\sqrt{F(\vec{v}_{2},\vec{v}_{2})}=\sqrt{v_{2}^{t}Av_{2}}=\sqrt{6}$
$||\vec{v}_{3}||=\sqrt{F(\vec{v}_{3},\vec{v}_{3})}=\sqrt{v_{3}^{t}Av_{3}}=\sqrt{3}$
"Cuspide83":
La norma è data dalla radice quadrata del trasformato tramite $F$ del vettore con se stesso (o che è lo stesso la radice quadrata del trasformato del vettore attraverso la forma quadratica associata a $F$), quindi
$||\vec{v}_{1}||=\sqrt{F(\vec{v}_{1},\vec{v}_{1})}=\sqrt{v_{1}^{t}Av_{1}}=\sqrt{2}$
$||\vec{v}_{2}||=\sqrt{F(\vec{v}_{2},\vec{v}_{2})}=\sqrt{v_{2}^{t}Av_{2}}=\sqrt{6}$
$||\vec{v}_{3}||=\sqrt{F(\vec{v}_{3},\vec{v}_{3})}=\sqrt{v_{3}^{t}Av_{3}}=\sqrt{3}$
Grazie
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