NORMA NATURALE E NORMA INDOTTA
Salve a tutti,
ho un problema studiando numerica: Che differenza c'è tra norma matriciale indotta e norma naturale ? Ho cercato su diverse fonti nella rete e su appunti e molte volte una norma matriciale indotta viene considerata norma naturale ... Tuttavia negli appunti del corso che seguo sta scritto che NON SEMPRE UNA NORMA NATURALE è UNA NORMA INDOTTA. Alchè vorrei capire la differenza tra queste , magari con qualche spiegazione formale e/o informale. Grazie in anticipo.
ho un problema studiando numerica: Che differenza c'è tra norma matriciale indotta e norma naturale ? Ho cercato su diverse fonti nella rete e su appunti e molte volte una norma matriciale indotta viene considerata norma naturale ... Tuttavia negli appunti del corso che seguo sta scritto che NON SEMPRE UNA NORMA NATURALE è UNA NORMA INDOTTA. Alchè vorrei capire la differenza tra queste , magari con qualche spiegazione formale e/o informale. Grazie in anticipo.
Risposte
Non sono molto sicuro, però probabilmente negli appunti si intende per norma naturale una norma che soddisfi la proprietà:
$||A B|| \ <= \ ||A|| \ \ ||B||$,
oltre ovviamente alle usuali proprietà della norma.
Invece, per norma indotta (da una norma di vettore) intende una norma del tipo:
$||A||=s\up_{x!=0} \ ||A x||/||x||$ ($x$ è un vettore)
Mi confermi che il discorso è circa questo?
$||A B|| \ <= \ ||A|| \ \ ||B||$,
oltre ovviamente alle usuali proprietà della norma.
Invece, per norma indotta (da una norma di vettore) intende una norma del tipo:
$||A||=s\up_{x!=0} \ ||A x||/||x||$ ($x$ è un vettore)
Mi confermi che il discorso è circa questo?
Allora, negli appunti da cui sto studiando è scritto questo :
Norme matriciali
È una funzione: Cnxn → R+
1) $||A|| ≥0, ||A|| = 0 ⇔ A = 0$
2) $||α A|| = |α| ||A||$
3) $||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||$
4) $||AB|| ≤ ||A||*||B||$
5) $||Ax|| ≤ ||A||*||x||$
Una norma matriciale si dice indotta se $∀ A ∈ Mat(n,n) ∃ x ∈ Rn : ||Ax|| ≤ ||A||*||x||$
Si definisce norma naturale di A:
$||A|| =$ sup $||Ax||/||x|| (per ||x||<>0)$
Tale definizione è equivalente a:
$||A|| = max ||Ax|| (per ||x||=1)$
Pertanto:
$||Ax||/||x||<=||A|| , ∀x<>0 , cioè ||Ax||<= ||A||*||x|| $
ora, in base a quanto scritto sembra che norma naturale e norma indotta siano la stessa cosa... tuttavia dopo di ciò sta scritto :
N.B. una norma naturale non è detto che sia indotta.
nel caso non sia stato molto capace a scrivere passo direttamente il link :
http://www.dmi.unict.it/~rosa/matrici.pdf
Norme matriciali
È una funzione: Cnxn → R+
1) $||A|| ≥0, ||A|| = 0 ⇔ A = 0$
2) $||α A|| = |α| ||A||$
3) $||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||$
4) $||AB|| ≤ ||A||*||B||$
5) $||Ax|| ≤ ||A||*||x||$
Una norma matriciale si dice indotta se $∀ A ∈ Mat(n,n) ∃ x ∈ Rn : ||Ax|| ≤ ||A||*||x||$
Si definisce norma naturale di A:
$||A|| =$ sup $||Ax||/||x|| (per ||x||<>0)$
Tale definizione è equivalente a:
$||A|| = max ||Ax|| (per ||x||=1)$
Pertanto:
$||Ax||/||x||<=||A|| , ∀x<>0 , cioè ||Ax||<= ||A||*||x|| $
ora, in base a quanto scritto sembra che norma naturale e norma indotta siano la stessa cosa... tuttavia dopo di ciò sta scritto :
N.B. una norma naturale non è detto che sia indotta.
nel caso non sia stato molto capace a scrivere passo direttamente il link :
http://www.dmi.unict.it/~rosa/matrici.pdf
E' spiegata malissimo la questione!
Cioè se ho capito bene a pagina 6 dice in sostanza che, se una norma di matrice è naturale ($||A|| =$ sup $||Ax||/||x|| (per ||x||<>0)$), allora è indotta ($∀ A ∈ Mat(n,n) ∃ x ∈ Rn : ||Ax|| ≤ ||A||*||x||$), poi con il N.B. lo nega? Secondo me c'è un errore
Cioè se ho capito bene a pagina 6 dice in sostanza che, se una norma di matrice è naturale ($||A|| =$ sup $||Ax||/||x|| (per ||x||<>0)$), allora è indotta ($∀ A ∈ Mat(n,n) ∃ x ∈ Rn : ||Ax|| ≤ ||A||*||x||$), poi con il N.B. lo nega? Secondo me c'è un errore
Sono bloccato a questo problema da diversi giorni , purtroppo non ho molte fonti da cui trarre informazioni utili sul contesto. Chiunque possa intervenire per aiutarmi è sempre ben accetto.
l'unica cosa che mi viene un mente è che nella norma naturale la condizione in realta non sia verificata per ogni x e quindi non sia una norma indotta
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