Norma indotta su una matrice?
solo concettualmente, da un punto di vista qualitativo cosa si intende con norma indotta su una matrice?
Risposte
sia $A\inRR^{n\timesn}$ si definisce
$||A||=$sup${||Ax||,x\inRR^n : ||x||leq1}$
dove $||\cdot||$ nella parentesi quadra sono le norme euclidee su$RR^n$. Da notare che questa definizione si può dare anche per matrice che non sono quadrate ed in generale per operatori lineari e limitati fra spazi normati.
QUALITATIVAMENTE significa che la norma di una matrice è il diametro del sottoinsieme di $RR^n$ in cui viene mandata la palla unitaria di $RR^n$.
$||A||=$sup${||Ax||,x\inRR^n : ||x||leq1}$
dove $||\cdot||$ nella parentesi quadra sono le norme euclidee su$RR^n$. Da notare che questa definizione si può dare anche per matrice che non sono quadrate ed in generale per operatori lineari e limitati fra spazi normati.
QUALITATIVAMENTE significa che la norma di una matrice è il diametro del sottoinsieme di $RR^n$ in cui viene mandata la palla unitaria di $RR^n$.
"ubermensch":
QUALITATIVAMENTE significa che la norma di una matrice è il diametro del sottoinsieme di $RR^n$ in cui viene mandata la palla unitaria di $RR^n$.
E se tale sottoinsieme non è una palla si prende il diametro della più piccola palla che lo contiene?
O qualcuno ci garantisce che la palla unitaria viene mappata in un'altra palla (magari non unitaria)?
"Kroldar":
E se tale sottoinsieme non è una palla si prende il diametro della più piccola palla che lo contiene?
Il diametro di un sottoinsieme di uno spazio metrico è il sup della distanza dei suoi elementi.
Per cui si tratta di una nozione più generale del diametro di una palla. Naturalmente se il sottoinsieme in questione è una palla, allora si ritrova il diametro classico.
"ubermensch":
Il diametro di un sottoinsieme di uno spazio metrico è il sup della distanza dei suoi elementi.
Ecco, ignoravo questa definizione
"ubermensch":
Il diametro di un sottoinsieme di uno spazio metrico è il sup della distanza dei suoi elementi.
Scusa uber cosa intendi con "distanza" dei suoi elementi?
Mi faresti un esempio per capire, grazie
Cmq grazie per le risposte
"ubermensch":
sia $A\inRR^{n\timesn}$ si definisce
$||A||=$sup${||Ax||,x\inRR^n : ||x||leq1}$
Io mi ritrovo una definizione leggermente diversa. Forse non avevo specificato norma NATURALE indotta che è:
$|||A|||=$sup${(||A*x||)/(||x||), ||x||!=0}$
Qui troverai altre informazioni :
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... le+matrice
ed anche qui :
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... le+matrice
Esplicativa la definizione qualitativa di ubermensch
:
QUALITATIVAMENTE significa che la norma di una matrice è il diametro del sottoinsieme di $RR^n$ in cui viene mandata la palla unitaria di $RR^n$.
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... le+matrice
ed anche qui :
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... le+matrice
Esplicativa la definizione qualitativa di ubermensch
: QUALITATIVAMENTE significa che la norma di una matrice è il diametro del sottoinsieme di $RR^n$ in cui viene mandata la palla unitaria di $RR^n$.
1) la definizione di raff è identica alla mia: la norma a denominatore la puoi portare dentro la norma a numeratore (dalla proprietà di omogeneità) e ricondurti addirittura alla valutazione su vettori di norma unitaria.
2) in uno spazio metrico c'è per definizione un concetto di distanza.. ma forse non lo sai. Vediamo allora il caso di $RR^n$. In esso è definita la distanza euclidea
$d(x,y)=(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2)^{1/2}$
Sia ora $A\subsetRR^n$. Si definisce
$diam(A)=$sup${d(x,y),x,y\inA}$
Nel nostro particolare caso che stiamo trattando, la definizione di norma di una matrice che ti ho scritto equivale alla seguente (ricordando che la norma euclidea in $RR^n$ induce la metrica euclidea ponendo $d(x,y)=||x-y||$):
$||A||=$sup${d(Ax,0),x\in B_1}$
essendo $B_1\subsetRR^n$ la palla unitaria. In base alla precedente definizione di diametro che ti ho dato si trova allora la caratterizzazione geometrica di norma che ti ho dato nel primo post: la norma di una matrice è il diametro dell'insieme in cui tale matrice mappa la palla unitaria di $RR^n$.
2) in uno spazio metrico c'è per definizione un concetto di distanza.. ma forse non lo sai. Vediamo allora il caso di $RR^n$. In esso è definita la distanza euclidea
$d(x,y)=(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2)^{1/2}$
Sia ora $A\subsetRR^n$. Si definisce
$diam(A)=$sup${d(x,y),x,y\inA}$
Nel nostro particolare caso che stiamo trattando, la definizione di norma di una matrice che ti ho scritto equivale alla seguente (ricordando che la norma euclidea in $RR^n$ induce la metrica euclidea ponendo $d(x,y)=||x-y||$):
$||A||=$sup${d(Ax,0),x\in B_1}$
essendo $B_1\subsetRR^n$ la palla unitaria. In base alla precedente definizione di diametro che ti ho dato si trova allora la caratterizzazione geometrica di norma che ti ho dato nel primo post: la norma di una matrice è il diametro dell'insieme in cui tale matrice mappa la palla unitaria di $RR^n$.
"ubermensch":
2) in uno spazio metrico c'è per definizione un concetto di distanza.. ma forse non lo sai. Si definisce
$diam(A)=$sup${d(x,y),x,y\inA}$
Allora, il concetto di norma ce l'ho (norma euclidea, spazi normati e diverse definizioni della norma di matrici (L $oo$, L a 1) ), il dubbio mi è venuto perché non capisco come interpreatre $diam(A)=$sup${d(x,y),x,y\inA}$. La simbologia è chiara, ma non capisco come fa ad esserci una distanza massima tra 2 vettori. Per esempio se ci mettiamo nello spazio bidimensionale la distanza tra 2 vettori può essere presa arbitrariamente grande, anche fino all'infinito. Dov'è che sbaglio?
non sbagli affatto! se $A$ è illimitato il diametro sarà infinito. Se $A$ non è chiuso potrebbe accadere che il sup è assunto per punti che non stanno in $A$. Fortunatamente questo rischio è scongiurato nel nostro caso particolare: una matrice è un operatore limitato e quindi l'immagine della palla unitaria è un insieme limitato (anche chiuso!) e quindi quel sup è proprio un numero e non infinito.
"ubermensch":
non sbagli affatto! se $A$ è illimitato il diametro sarà infinito. Se $A$ non è chiuso potrebbe accadere che il sup è assunto per punti che non stanno in $A$. Fortunatamente questo rischio è scongiurato nel nostro caso particolare: una matrice è un operatore limitato e quindi l'immagine della palla unitaria è un insieme limitato (anche chiuso!) e quindi quel sup è proprio un numero e non infinito.
Cioè, mi stai dicendo che, definita un'opportuna norma, in uno spazio vettoriale la distanza massima tra 2 vettori è una quantità finita?
Guarda che $A$ non è uno spazio vettoriale, ma un sottoinsieme di uno spazio vettoriale (fra l'altro è ovvio che la tua affermazione è sempre falsa).
Consideriamo ad esempio $A=[0,1]$: esso ha diametro finito ed uguale ad 1. Invece $A=[0,\infty)$ ha diametro infinito. Tutto dipende da chi è $A$. Ripeto che nel nostro caso $A$ è l'immagine della palla unitaria sotto un operatore limitato e quindi è sempre limitato, cioè ha diametro finito.
Consideriamo ad esempio $A=[0,1]$: esso ha diametro finito ed uguale ad 1. Invece $A=[0,\infty)$ ha diametro infinito. Tutto dipende da chi è $A$. Ripeto che nel nostro caso $A$ è l'immagine della palla unitaria sotto un operatore limitato e quindi è sempre limitato, cioè ha diametro finito.
Avevo capito dove era il problema e volevo togliere l'ultimo post, ma il server non andava.
Grazie, buonanotteù
Grazie, buonanotteù
ok.. buonanotte!
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