Norma euclidea di una matrice

[Mondo3]

Vorrei un aiutino per riuscire a dimostrare che la norma euclidea di una matrice A vale $sqrt(rho(A^TA))$...

[alberto861]

cos'è quel $\varrho$?

[alberto861]

credo che tu intenda la traccia..comunque per norma euclidea di una matrice si intende la norma della sua immersione in $R^(nxm)$ cioè la radice della somma dei quadrati degli elementi(il caro vecchio Pitagora)..ora data una matrice $A$ qualsiasi $nxm$ si verifica facilmente che $AA^T$ è quadrata, di ordine n, e quindi ha senso parlare di traccia..inoltre detta $B=AA^T$ si verifica facendo due conti che l'elemento di posto $b_(i,i)=\sum_{j=1}^m a_(i,j)^2$ e quindi $tr(B)=\sum_{i=1}^n b_(i,i)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_(i,j)^2$ prendendo ora la radice hai la tesi.

[alberto861]

quel simbolo sarebbe AA^T

[amel3]

Credo proprio che lui intenda invece la norma indotta dalla matrice.
$rho$ dovrebbe essere il raggio spettrale, cioè il massimo in valore assoluto degli autovalori (notare che banalmente $A^T A$ è simmetrica).
[size=75]Sinceramente anche se è molto semplice sono andato a sbirciare la dimostrazione...[/size]

[Mondo3]

si si, intendevo proprio quello che ha detto amel... Qualche hint per la dimostrazione?

[amel3]

Di solito si usa il fatto che, essendo $A^T A$ simmetrica, esiste una matrice ortogonale $U$ per cui:
$U^T (A^T A) U=diag(lambda_1,...,lambda_n)$, con $lambda_1,...,lambda_n$ gli autovalori della matrice $A^T A$.
Poi si applica la definizione di norma 2 di una matrice...
E' semplice, ma non immediato ovviamente.

[Mondo3]

"amel":Di solito si usa il fatto che, essendo $A^T A$ simmetrica, esiste una matrice ortogonale $U$ per cui:
$U^T (A^T A) U=diag(lambda_1,...,lambda_n)$, con $lambda_1,...,lambda_n$ gli autovalori (positivi) della matrice $A$.

$lambda_1,...,lambda_n$ non dovrebbero essere gli autovalori della matrice $A^T A$???

[amel3]

Sì certo, scusa, è una svista...


EDIT: Ultima rettifica: gli autovalori in effetti sono positivi per la particolare forma di $A^T A$...
Ora è tutto giusto (almeno spero...)

[Mondo3]

scusa ma dopo aver fatto quelle considerazioni su $A^T A$ come agisco su A? Su A non ho ipotesi, cioè non so nemmeno se esiste l'inversa (cosa che mi sarebbe parecchio utile)

[amel3]

$||A||_2 = s u p_{x!=0} ||Ax||/||x||=s u p_{x!=0} sqrt(()/())=s u p_{x!=0} sqrt(()/())=$ posto $y=U^T x$
$=s u p_{y!=0} sqrt(()/())=$ U è ortogonale
$=s u p_{y!=0} sqrt(()/())=s u p_{y!=0} sqrt(()/())=s u p_{y!=0} sqrt(()/())=s u p_{y!=0} sqrt((sum_{i=1}^{n} lambda_i y_i ^2)/(sum_{i=1}^{n} y_i^2))=sqrt(max(lambda_1,...,lambda_n))$

[Mondo3]

grazie mille

(che scemo che sono: non avevo pensato di sviluppare il prodotto scalare...)