Norma di un vettore

[process11]

nella disuguaglianza di cauchy schwartz c'è questo passaggio:
definiamo una funzione $g:R->R$ tale che $AA v,w in V$, $AA t in R$
$g(t)=v-tw=||v-tw||^2$ dove con || || indico la norma. ora innanzitutto $v-tw$ è un vettore, giusto?, e ha senso scriverlo cosi perchè $t in R$, vero?, ma la norma di quel vettore che cosa è?perchè si può prenderla?

[gugo82]

Qui.

[process11]

si l'unica cosa è che non ho capito se si può prendere sempre la norma, qualunque sia il vettore....e sopprattutto essa $||v-tw||$ è uno scalare?

[gugo82]

Per rispondere basta riflettere un po' sulle definizioni di norma e di spazio vettoriale.

[process11]

ci ho pensato, ma guardando su diversi libri alcuni mi dicono che la norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva (è questo lo dice anche wikipedia)...altri mi dicono che è uno scalare...ho le idee un pò confuse. ma quindi $||v-tw||$ è un polinomio di secondo grado perchè c'è un'incognita, che è la t??... mentre non saprei dire perchè è lecito prendere la norma di $v-tw$ al quadrato..

[Alxxx28]

Se si dice che è una lunghezza, per te potrebbe essere un vettore?

[process11]

no, forse meglio uno scalare...ma allora perchè $||v-tw||^2$ è una funzione?

[dissonance]

Ma a me non sembra tanto difficile. Ad ogni numero reale $t$ associamo il vettore $v-tw$. Di questo vettore prendiamo la lunghezza, che è un numero positivo. Allora ad ogni numero reale $t$ resta associato un numero positivo. Fine. Cosa c'è che non è chiaro? Se hai problemi col concetto di funzione vattelo subito a studiare con calma, altrimenti non vai da nessuna parte.

[process11]

non è chiaro che per definizione di norma al quadrato alla fine $||v-tw||^2$=$$$=t^2||w||^2+2+||v||^2$. che è un polinomio di secodno grado. allora, ripeto, $||v-tw||^2$ o è un numero positivo o è un polinomio di secondo grado, o tutti e due?...capisci quello che non riesco a capire?

[Steven11]

"blabla":allora, ripeto, $||v-tw||^2$ o è un numero positivo o è un polinomio di secondo grado, o tutti e due?...capisci quello che non riesco a capire?

Facciamo chiarezza.
Formalmente è giusto dire che che è una funzione polinomiale, visto che come hai detto anche tu (prima avevi però dimenticato una $-t$) la funzione associa a $t$ la quantità [tex]$t^2||w||-2t\scal(v,wt)+||v||^2$[/tex]

[tex]$p(t)=t^2||w||-2t\scal(v,wt)+||v||^2$[/tex]

Fissato poi $t$, quello è un numero positivo. Valutato appunto nei vari singoli $t$ reali.

E' esattamente come dire: $f(x)=x^2+1$ è una funzione o un numero positivo?
E' una funzione, e fissato $x$ la quantità $x^2+1$ è un numero positivo determinato.

Spero ti sia più chiaro.

[process11]

ah, ok adesso è più chiaro grazie