Norma di un vettore

[gundamrx91-votailprof]

Sul mio testo di Analisi 1 la norma di un vettore [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex] è definita come:

[tex]\|x\|:=\sqrt{\lt x,x \gt}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}[/tex]

Inoltre scrive che se [tex]x \in \mathbb{R}^3[/tex] allora la norma coincide con l'ordinaria nozione di lunghezza di un vettore.
Ora però facendo qualche prova, sia in [tex]\mathbb{R}^2[/tex], sia in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] mi risulta che sia sempre così, ovvero la norma corrisponde sempre alla lunghezza del vettore; è vero questo oppure il testo si riferisce a qualcos'altro?

Grazie

[killing_buddha]

Faccio una domanda a mia volta: non ho mai saputo dove cercare una dimostrazione crismatica del fatto che
\[
\left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \to \max |x_i|
\]
se $p\to \infty$.

[killing_buddha]

Elementare davvero, se ci avessi pensato, spero ci sarei arrivato. Grazie di avermi rispolverato la cosa.

[gundamrx91-votailprof]

"TeM":Dato uno spazio \(\mathbb{R^n}\), la norma \( p \), per \(0\le p < +\infty\), è definita come\[ ||x||_p := \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} . \] Solo per \(p=2\) si ha la usuale norma euclidea (quella che giustamente si chiama modulo): quando \(n=2\)
oppure \(n=3\), tale modulo coincide con la intuitiva nozione di lunghezza (dedotta dal Teorema di Pitagora).

Esistono poi norme meno intuitive come la norma uno ( \(p=1\) ) (norma di Manhattan) o la
norma infinito ( \(p\to+\infty\) ) detta anche norma del massimo (o di Chebyshev): $\max_{i=1,\cdots,n}|x_i|$.

Spero sia abbastanza chiaro

Si chiaro. Grazie