Norma che tende all'infinito...

[elijsa1]

ciao quando in un limite di una funzione di due variabili la norma di x,y tende a piu infinito come faccio a sapere se esiste o meno. attorno a zero facevo con le coordinate polari o con rette per l'origine parabole ecc ma ora?

[gugo82]

Sempre lo stesso.

Ad esempio, se la tua $f$ dipende solo da $|x-x_0|$ (con il punto $x_0$ fissato) puoi passare a coordinate polari con polo in $x_0$.
Oppure puoi considerare la restrizione di $f$ alle rette passanti per un conveniente $x_0$ ed analizzare i limiti (in una variabile) delle restrizioni di $f$ a tali rette...

Se scrivi un esempio posso essere più preciso.

[elijsa1]

sarà meglio perchè sinceramente non è che ci ho capito tanto.. dunque mettiamo di avere $\lim_{||(x,y)|| \to \infty}(x+1)*cos(1/(1+|x+y|))$

[ea2]

ragazzi questa cosa mi interessa alquanto. qualcuno riesce a rispondere a elijsa?

[gugo82]

"elijsa":sarà meglio perchè sinceramente non è che ci ho capito tanto.. dunque mettiamo di avere $\lim_{||(x,y)|| \to \infty}(x+1)*cos(1/(1+|x+y|))$

Il limite in questione, ovviamente, non esiste.

Facciamo variare $(x,y)$ su una retta del fascio di centro $(0,0)$: se $y=mx$, trovi $f(x,mx)=(x+1)*cos(1/(1+|1+m|*|x|))$, cosicchè quando $x\to +oo$ (ossia quando $x$ si allontana verso $oo$ dal lato del primo e quarto quadrante) [risp. $x\to -oo$ (ossia quando $x$ si allontana verso $oo$ dal lato del secondo e terzo quadrante)] hai $lim_(x\to +oo) f(x,mx)=+oo*1=+oo$ [risp. $lim_(x\to +oo) f(x,mx)=-oo*1=-oo$]. Tanto basta a dire che la $f(x,y)$ non ha limite in $oo$. Volendo puoi anche analizzare il comportamento di $f$ lungo l'asse $y$ (escluso dall'analisi precedente, per via della rappresentazione $y=mx$), ma ciò non aggiunge niente.
Ne viene che la funzione $(x+1)*cos(1/(1+|x+y|))$ non è regolare in $oo$; anzi possiamo dire di più, cioè che $"max"lim_(|(x,y)|\to +oo) (x+1)*cos(1/(1+|x+y|))=+oo!=-oo="min"lim_(|(x,y)|\to +oo) (x+1)*cos(1/(1+|x+y|))$.