Nomralizzatori in S_p - divento pazzo
mi sto perdendo in un biocchier d'acqua, mi servirebbe un dato poer finire un lavoro; vi chiedo un caso particolare da cui non riesco a venirne a capo...
qualcuno saprebbe dirmi esplicitamente la classe di coniugio in $S_5$ , $N={sigma\in\S_5|sigmaLsigma^(-1)=L}$ del sottogruppo $L=<(1,2,3,4,5)>$?
ovviamente $L\subL$ in quanto gli elementi del gruppo ridanno elementi del gruppo. Ma gli altri? secondo i miei calcoli dovrebbe avere cardinalità 20 (l'ho ricavato in maniera indiretta dal contesto dell'esercizio che non scrivo per intero) però non riesco a capire se
a) ho fatto i conti giusti
b) non riesco a determinarli
qualcuno mi saprebbe dare una mano, una dritta?
grazie a tutti!
qualcuno saprebbe dirmi esplicitamente la classe di coniugio in $S_5$ , $N={sigma\in\S_5|sigmaLsigma^(-1)=L}$ del sottogruppo $L=<(1,2,3,4,5)>$?
ovviamente $L\subL$ in quanto gli elementi del gruppo ridanno elementi del gruppo. Ma gli altri? secondo i miei calcoli dovrebbe avere cardinalità 20 (l'ho ricavato in maniera indiretta dal contesto dell'esercizio che non scrivo per intero) però non riesco a capire se
a) ho fatto i conti giusti
b) non riesco a determinarli
qualcuno mi saprebbe dare una mano, una dritta?
grazie a tutti!
Risposte
da un punto di vista geometrico sono tutte le trasformazioni sulla piccola figura di 120 vertici che è $S_5$ visto in cordinate polari se vogliamo che fissa il pentagono con i vertici che si trovano ogni $k2/5pi$ però questo non mi risolve il problema...
di movimenti rigidi ce ne sono solo 5 e sono esattamente quelli che compongono L... quali sono gli altri?..
di movimenti rigidi ce ne sono solo 5 e sono esattamente quelli che compongono L... quali sono gli altri?..
Quello che tu chiami "classe di coniugio" io lo chiamo "normalizzatore". Si tratta dell'insieme degli elementi di $S_5$ che normalizzano $L$, ho capito bene?
Quindi detto $g=(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ tu stai cercando di determinare $N={n in S_5\ |\ ngn^{-1}=g}={n in S_5\ |\ ng=gn}$. Giusto?
Ora se vedi $g$ come mappa $ZZ//5ZZ to ZZ//5ZZ$ allora la sua espressione è $g(x)=x+1$. Quindi un $h$ che commuta con $g$ verifica $h(x+1)=h(x)+1$. Questo implica (per induzione) che $h$ è determinato dal valore che assume in un punto, quindi gli $h$ siffatti sono cinque; siccome le potenze di $g$ sono cinque hai $N=L$.
Almeno, a me sembra che il ragionamento funzioni. Potresti trascrivere l'intero esercizio?
-------- Attenzione: ho mal interpretato la questione. $N$ non è formato dagli elementi che commutano con $g$ ma dagli elementi che normalizzano $$, che scemo... comunque l'idea di cui sopra può aiutare. Ci penso ancora.
Quindi detto $g=(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$ tu stai cercando di determinare $N={n in S_5\ |\ ngn^{-1}=g}={n in S_5\ |\ ng=gn}$. Giusto?
Ora se vedi $g$ come mappa $ZZ//5ZZ to ZZ//5ZZ$ allora la sua espressione è $g(x)=x+1$. Quindi un $h$ che commuta con $g$ verifica $h(x+1)=h(x)+1$. Questo implica (per induzione) che $h$ è determinato dal valore che assume in un punto, quindi gli $h$ siffatti sono cinque; siccome le potenze di $g$ sono cinque hai $N=L$.
Almeno, a me sembra che il ragionamento funzioni. Potresti trascrivere l'intero esercizio?
-------- Attenzione: ho mal interpretato la questione. $N$ non è formato dagli elementi che commutano con $g$ ma dagli elementi che normalizzano $
stando sull'esempio senza generalizzare, dovrei dimostrare per iniziare come caso particolare (perchè quello generale nn so benissimo cm fare) che un normalizzatore di un 5-sylow di $S_5$ è isomorfo al gruppo delle affinità di rango uno su un opportuno campo K ($aff_1(K)$)
ora io sto ragionando a ritroso per iniziare, le affinità sono $aff_1(F_5)={f(x)=ax+b|a\in\F_5^*,b\in\F_5}$ quindi abbiamo 5 scelte per b e 4 scelte per a, in generale con le loro combinazioni sono 5*4=20.
Inoltre un 5-sylow è $<(1,2,3,4,5)>$ quindi mi aspettavo che il suo normlalizzatore avesse cardinalità 20.
In teoria non metto tutto l'esercizio, ma solo questa spiegazione ai miei conti perchè non mi tornano, in quanto il mio prof di algebra vuole che consegnamo degli esercizi oltre ai compitini (che poi correggiamo anche alla lavagna...) quindi non voglio farmelo fare, però non torna nulla! buuuh
secondo te è sbagliato il conto che ho fatto?... il teoria le affinità su un campo devono avere cardinalità p*(p-1) quindi il normalizzatore non dovrebbe essere un numero primo...
aspetto pareri
ora io sto ragionando a ritroso per iniziare, le affinità sono $aff_1(F_5)={f(x)=ax+b|a\in\F_5^*,b\in\F_5}$ quindi abbiamo 5 scelte per b e 4 scelte per a, in generale con le loro combinazioni sono 5*4=20.
Inoltre un 5-sylow è $<(1,2,3,4,5)>$ quindi mi aspettavo che il suo normlalizzatore avesse cardinalità 20.
In teoria non metto tutto l'esercizio, ma solo questa spiegazione ai miei conti perchè non mi tornano, in quanto il mio prof di algebra vuole che consegnamo degli esercizi oltre ai compitini (che poi correggiamo anche alla lavagna...) quindi non voglio farmelo fare, però non torna nulla! buuuh
secondo te è sbagliato il conto che ho fatto?... il teoria le affinità su un campo devono avere cardinalità p*(p-1) quindi il normalizzatore non dovrebbe essere un numero primo...
aspetto pareri
Una classe di coniugio è definita come $O(\sigma) = \{g \in S_5\ |\ \exists \lambda \in S_5, \lambda\sigma\lambda^{-1} = g \}$
Hai visto il teorema che dice che ogni permutazione è coniugata a tutte e sole le permutazioni che hanno la loro stessa struttura ciclica?
Hai visto il teorema che dice che ogni permutazione è coniugata a tutte e sole le permutazioni che hanno la loro stessa struttura ciclica?
la questione può essere riscritta come trovare il più piccolo sottogruppo di $S_5$ entro il quale $<(1,2,3,4,5)>$ è normale, o sbaglio?...
Non esattamente...
@vict85:
ti riferisci al teorema che dice che se $t=(t_1...t_(r_1))(...)(t_(r_(k+1))...t_((r_k)))=>sigmatsigma^(-1)=(sigma(t_1)...sigma(t_(r_1)))(...)(sigma(t_(r_(k+1)))...sigma(t_((r_k))))$ giusto? beh mi dice che in questo caso, la classe di coniugo dovrebbe essere data da tutti i cicli del tipo $(sigma(1),sigma(2),sigma(3),sigma(4),sigma(5))$?
però in questo caso, salvo che continuo a sbagliare i conti, non è vero... non tutti i cicli di 5 elementi fissano con quell'azione questo gruppo... oppure non ho capito a che ti riferisci..
ti riferisci al teorema che dice che se $t=(t_1...t_(r_1))(...)(t_(r_(k+1))...t_((r_k)))=>sigmatsigma^(-1)=(sigma(t_1)...sigma(t_(r_1)))(...)(sigma(t_(r_(k+1)))...sigma(t_((r_k))))$ giusto? beh mi dice che in questo caso, la classe di coniugo dovrebbe essere data da tutti i cicli del tipo $(sigma(1),sigma(2),sigma(3),sigma(4),sigma(5))$?
però in questo caso, salvo che continuo a sbagliare i conti, non è vero... non tutti i cicli di 5 elementi fissano con quell'azione questo gruppo... oppure non ho capito a che ti riferisci..
"fu^2":
@vict85:
ti riferisci al teorema che dice che se $t=(t_1...t_(r_1))(...)(t_(r_(k+1))...t_((r_k)))=>sigmatsigma^(-1)=(sigma(t_1)...sigma(t_(r_1)))(...)(sigma(t_(r_(k+1)))...sigma(t_((r_k))))$ giusto? beh mi dice che in questo caso, la classe di coniugo dovrebbe essere data da tutti i cicli del tipo $(sigma(1),sigma(2),sigma(3),sigma(4),sigma(5))$?
però in questo caso, salvo che continuo a sbagliare i conti, non è vero...
Perché tu non stai cercando le classi di coniugio... Avevo letto velocemente e non avevo notato che avevi sbagliato il testo.
ok, allora cambio il titolo io per classi di coniugio e normalizzatori intendo la stessa cosa (in questo momento che ho il cervello fritto, non in generale )... va beh poco male...
io per classi di coniugio e normalizzatori intendo la stessa cosa (in questo momento che ho il cervello fritto, non in generale )... va beh poco male...
Ok ora mi è chiaro abbastanza il problema.
Chiamo $g=(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$. Tu cerchi quegli $n \in S_5$ tali che $ng=g^k n$ per qualche $k in {0,1,2,3,4}$. In tal caso $k ne 0$ essendo $g ne 1$. Ora la mappa $g$ pensata come applicazione $F_5 to F_5$ manda $x$ in $x+1$, e più in generale la mappa $g^k$ manda $x$ in $x+k$. Quindi la condizione $ng=g^kn$ diventa $n(x+1)=n(x)+k$. Ora dovrebbe essere abbastanza chiaro come procedere.
Chiamo $g=(1\ 2\ 3\ 4\ 5)$. Tu cerchi quegli $n \in S_5$ tali che $ng=g^k n$ per qualche $k in {0,1,2,3,4}$. In tal caso $k ne 0$ essendo $g ne 1$. Ora la mappa $g$ pensata come applicazione $F_5 to F_5$ manda $x$ in $x+1$, e più in generale la mappa $g^k$ manda $x$ in $x+k$. Quindi la condizione $ng=g^kn$ diventa $n(x+1)=n(x)+k$. Ora dovrebbe essere abbastanza chiaro come procedere.
ora provo a scrivere e vedere se mi torna bene, ci penso su,m se ho problemi richiedo... per questa sera cerco di capire bene quello che mi hai suggrito, grazie mille, (penso) a presto! - magari alla fine proporrò l'intero problema perchè è simpatico (ovvero tosto per me...)
"fu^2":
ok, allora cambio il titolo
Legata all'azione. Le classi di coniugio sono le orbite dell'azione, mentre il normalizzatore è la generalizzazione del centralizzante (che è lo stabilizzatore dell'azione).
una cosa la condizione $ng=g^kn$ non si dovrebbe riscrivere come $n(x+1)=(x+k)n$ e non $n(x+1)=n(x)+k$? oppure perchè si scrive come hai detto te?
@vict85: si in questo momento intendevo che erano la stessa cosa, di norma sono cose diametralmente opposte... ho questo vizio a sovrapporre le parole... lo so che faccio casino con tutti quelli con cui devo comunicare
"fu^2":
una cosa la condizione $ng=g^kn$ non si dovrebbe riscrivere come $n(x+1)=(x+k)n$ e non $n(x+1)=n(x)+k$? oppure perchè si scrive come hai detto te?
$g$ manda $x$ in $x+1$; $g^k$ manda $x$ in $x+k$; $ng=n circ g$ manda $x$ in $n(x+1)$; $g^kn = g^k circ n$ manda $x$ in $n(x)+k$.
Naturalmente $n(x+1)$ non è $n$ moltiplicato per $x+1$ ma è $n$ applicato a $x+1$. Che significa $(x+k)n$ ?
Se posso darti un consiglio, quando ti viene un dubbio non chiedere subito spiegazioni. E' molto più produttivo rispondersi da soli.
ok l'azione l'ho capita ;D ora vado a vanti, grazie dell'aiutp!
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