Natura di un'applicazione affine
Ciao a tutti ! Ho delle difficoltà con la richiesta di un'esercizio
Sia data nello spazio affine euclideo $ R ^3 $ riferito al riferimento canonico $ R ( O, e1,e2,e3) $ la centroaffinità
$f$ di centro $ O $ definita dalle equazioni
$ { ( Y1= X1 ),( Y2=\sqrt3/2 X2+1/2X3),( Y3=1/2X2-\sqrt3/2 X3):} $
Allora questa centroaffinità è un movimento euclideo negativo con matrice ortogonale
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , \sqrt3/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , -\sqrt3/2 ) ) $
Devo precisare la natura di $ f $. Dalle soluzioni del libro posso dirvi che $ f$ è la simmetria dello spazio $ R^3 $rispetto al piano
$ \pi: X2-(2+\sqrt3)X3=0 $
Inoltre l'insieme dei punti fissi di $ f$ è proprio costituito dal piano $ \pi$
Come faccio a provare che $f$ è una simmetria ? Si nota che la matrice è simmetrica, ma cosa posso dire con questo?
E poi perchè si tratta di una simmetria proprio rispetto a $ \pi $ ?
Grazie !
Sia data nello spazio affine euclideo $ R ^3 $ riferito al riferimento canonico $ R ( O, e1,e2,e3) $ la centroaffinità
$f$ di centro $ O $ definita dalle equazioni
$ { ( Y1= X1 ),( Y2=\sqrt3/2 X2+1/2X3),( Y3=1/2X2-\sqrt3/2 X3):} $
Allora questa centroaffinità è un movimento euclideo negativo con matrice ortogonale
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , \sqrt3/2 , 1/2 ),( 0 , 1/2 , -\sqrt3/2 ) ) $
Devo precisare la natura di $ f $. Dalle soluzioni del libro posso dirvi che $ f$ è la simmetria dello spazio $ R^3 $rispetto al piano
$ \pi: X2-(2+\sqrt3)X3=0 $
Inoltre l'insieme dei punti fissi di $ f$ è proprio costituito dal piano $ \pi$
Come faccio a provare che $f$ è una simmetria ? Si nota che la matrice è simmetrica, ma cosa posso dire con questo?
E poi perchè si tratta di una simmetria proprio rispetto a $ \pi $ ?
Grazie !
Risposte
Studia gli autospazi della matrice e vedi quali rimangono immutati e quali vengono riflessi
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