Nastro di moebius
ragazzi qualcuno sa darmi una mano con questo esercizio?
"Si dimostri che non esiste alcuna retrazione del nastro di moebius sul suo bordo."
a presto!
"Si dimostri che non esiste alcuna retrazione del nastro di moebius sul suo bordo."
a presto!
Risposte
Io non so darti una mano; comunque c'è più probabilità che tu riceva aiuto se aggiungi qualche tuo ragionamento.
Il problema è che non ho proprio idea di come attaccarlo : - (!
Per esempio:
nastro e suo bordo (simile a sfera unidim) hanno gruppi fondamentali isomorfi a Z, quindi la solita storia della suriettività dell'omomorfismo indotto da restrizione non può impiegarsi.
credo non ce la si sbrighi con qualcosa di così veloce, magari provare a dimostrare l'inesistenza delle omotopie di equivalenza? ma come?
Per esempio:
nastro e suo bordo (simile a sfera unidim) hanno gruppi fondamentali isomorfi a Z, quindi la solita storia della suriettività dell'omomorfismo indotto da restrizione non può impiegarsi.
credo non ce la si sbrighi con qualcosa di così veloce, magari provare a dimostrare l'inesistenza delle omotopie di equivalenza? ma come?
Ciao, ci provo....un po' "a spanne" 
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Lemma 1.
Se $A$ è una retrazione di $X$, allora l'omomorfismo di gruppi fondamentali indotti da
$j$(inclusione)$: A -> X$ è iniettiva.
Prova
Se $r: X -> A$ è una retrazione, allora la mappa composta $r \ cdot j$ è uguale alla mappa identità di $A$. Ne consegue che $r_ o \ cdot j_ o$ è la mappa di identità $\ pi_1 (A, a)$, in modo che $j_o$ deve essere iniettiva, dove $r_o$ e $j_o$ indicano l’omomorfismo indotto da mappe topologiche continue $r$ e $j$.
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Allora....
Un retratto del nastro di Moebius è la sua circonferenza “centrale”.
La circonferenza è una mappa di grado topologico 1 quindi la mappa della circonferenza “centrale” del nastro di Moebius è di grado topologico 1.
Così, la mappa indotta $j_ o: \ pi (S ^ 1) -> \ pi (M)$ del Lemma 1 è un isomorfismo.
Tuttavia, un nastro di Moebius è una varietà bidimensionale non-orientabile.
Una figura bidimensionale, sul nastro di Moebius, non può essere spostata intorno alla circonferenza “centrale” una volta e fare ritorno al punto di partenza. In realtà, tornando al punto iniziale comporta due giri della sua circonferenza “centrale”, quindi una mappa di grado topologico 2.
Una mappa di grado topologico 1 posta su un sottoinsieme $A$ del nastro di Moebius ed una mappa di grado topologico 2 posta su un sottoinsieme $B$ del nastro di Moebius, non possono indurre gli stessi omomorfismi (isomorfismi) tra i loro gruppi fondamentali.
Dal momento che la circonferenza “centrale” è un retratto di deformazione del nastro di Moebius, il bordo non può esserlo, ne conseguirebbe che $r_ o \ cdot j_o$ (nel Lemma 1) non è la mappa di identità.
Ti può andare??
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Lemma 1.
Se $A$ è una retrazione di $X$, allora l'omomorfismo di gruppi fondamentali indotti da
$j$(inclusione)$: A -> X$ è iniettiva.
Prova
Se $r: X -> A$ è una retrazione, allora la mappa composta $r \ cdot j$ è uguale alla mappa identità di $A$. Ne consegue che $r_ o \ cdot j_ o$ è la mappa di identità $\ pi_1 (A, a)$, in modo che $j_o$ deve essere iniettiva, dove $r_o$ e $j_o$ indicano l’omomorfismo indotto da mappe topologiche continue $r$ e $j$.
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Allora....
Un retratto del nastro di Moebius è la sua circonferenza “centrale”.
La circonferenza è una mappa di grado topologico 1 quindi la mappa della circonferenza “centrale” del nastro di Moebius è di grado topologico 1.
Così, la mappa indotta $j_ o: \ pi (S ^ 1) -> \ pi (M)$ del Lemma 1 è un isomorfismo.
Tuttavia, un nastro di Moebius è una varietà bidimensionale non-orientabile.
Una figura bidimensionale, sul nastro di Moebius, non può essere spostata intorno alla circonferenza “centrale” una volta e fare ritorno al punto di partenza. In realtà, tornando al punto iniziale comporta due giri della sua circonferenza “centrale”, quindi una mappa di grado topologico 2.
Una mappa di grado topologico 1 posta su un sottoinsieme $A$ del nastro di Moebius ed una mappa di grado topologico 2 posta su un sottoinsieme $B$ del nastro di Moebius, non possono indurre gli stessi omomorfismi (isomorfismi) tra i loro gruppi fondamentali.
Dal momento che la circonferenza “centrale” è un retratto di deformazione del nastro di Moebius, il bordo non può esserlo, ne conseguirebbe che $r_ o \ cdot j_o$ (nel Lemma 1) non è la mappa di identità.
Ti può andare??
perfetto! : - )
Grazie mille
Grazie mille
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