$n$-simo esercizio di topologia
Ritorno all'attacco con un esercizio su parte interna e chiusura che non riesco a formalizzare (in gran parte perché non ho con me i miei appunti dell'epoca di cui studiai topologia, dunque non ricordo le cose alla perfezione)
Consideriamo i seguenti spazi topologici:
1) $X=RR$ con la topologia euclidea;
2) $ Y=RR$ con la topologia i cui aperti non banali sono le semirette destre aperte, ovvero $(a,+\infty)$ al variare di $a\in RR$.
3) $A=(-1,1)\times\left((-1,1)\cup (2,4)\right) \subset X\times Y $
Voglio determinare parte interna e chiusura di $A$.
Per la parte interna, ho ragionato separatamente nei due fattori (dato che le proiezioni sono mappe aperte) e ho ottenuto, in particolare, che la parte interna di $(-1,1)\cup (2,4)$ in $Y$ è il vuoto, dunque $A^\circ=\emptyset$.
Per quanto riguarda la chiusura, vorrei dire che $\bar A=[-1,1]\times (-\infty,4]$, tuttavia non so bene come dimostrarlo, poiché appunto le proiezioni non sono in generale chiuse...
Consideriamo i seguenti spazi topologici:
1) $X=RR$ con la topologia euclidea;
2) $ Y=RR$ con la topologia i cui aperti non banali sono le semirette destre aperte, ovvero $(a,+\infty)$ al variare di $a\in RR$.
3) $A=(-1,1)\times\left((-1,1)\cup (2,4)\right) \subset X\times Y $
Voglio determinare parte interna e chiusura di $A$.
Per la parte interna, ho ragionato separatamente nei due fattori (dato che le proiezioni sono mappe aperte) e ho ottenuto, in particolare, che la parte interna di $(-1,1)\cup (2,4)$ in $Y$ è il vuoto, dunque $A^\circ=\emptyset$.
Per quanto riguarda la chiusura, vorrei dire che $\bar A=[-1,1]\times (-\infty,4]$, tuttavia non so bene come dimostrarlo, poiché appunto le proiezioni non sono in generale chiuse...
Risposte
Suggerimento di passaggio (vado di fretta, vado di corsa): fai un bel disegno! 
La chiusura di un prodotto è il prodotto delle chiusure.
"otta96":
La chiusura di un prodotto è il prodotto delle chiusure.
Questa cosa è falsissima.
Prendiamo ad esempio l'iperbole $\{xy=1\}$ che è un chiuso di $RR^2$
Se considero le proiezioni sui due assi, queste sono $RR-\{0\}$ che non è chiuso e la cui chiusura è tutto $R$.
Dunque, secondo la tua definizione, la chiusura dell'iperbole sarebbe tutto $RR^2$, che è falsa.
Edit: chiedo venia: penso che in realtà quello che dice otta96 è vero se però parliamo di prodotti finiti di spazi topologici.
Credo invece la cosa si possa perdere se invece si considerano prodotti infiniti di spazi topologici (semplicemente perché le basi cambiano in maniera sostanziale: nel caso di un prodotto finito, una base dello spazio prodotto è data dai prodotti delle basi; mentre nel caso di prodotti infiniti, una base dello spazio prodotto è data da prodotti di elementi in cui al più un numero finito di essi non è tutto lo spazio), ma non ne sono sicuro.
"j18eos":
Suggerimento di passaggio (vado di fretta, vado di corsa): fai un bel disegno!
Ciao j18eos. Il mio problema non è capire chi sia la chiusura, ma come dimostrare che $[-1,1]\times (-\infty,4]$ sia effettivamente la chiusura dell'insieme $A$.
Il disegno è stata (ovviamente) la primissima cosa che ho fatto, ma non aiuta più di tanto, poiché la topologia di $Y$ non è quella euclidea, ma un altra
@Lebesgue Corretta la risposta ad otta96, a parte il dettaglio che l'iperbole (nel piano affine reale) non è un prodotto (cartesiano) di insiemi!
...poi potresti iniziare a capire se \(\displaystyle[-1,1]\times]-\infty,4]\subseteq\overline{A}\) oppure no?
...poi potresti iniziare a capire se \(\displaystyle[-1,1]\times]-\infty,4]\subseteq\overline{A}\) oppure no?
Esatto, l'iperbole non è un prodotto!
@otta96: sì scusa, hai ragione tu: chiusura (risp. parte interna) di un prodotto è il prodotto delle chiusure (risp. parti interne) dei singoli fattori.
Chiedo umilmente scusa: non ricordavo minimamente questo fatto
Mi domando però: questa cosa è vera solo per prodotti finiti, o vale anche per prodotti infiniti?
Chiedo umilmente scusa: non ricordavo minimamente questo fatto
Mi domando però: questa cosa è vera solo per prodotti finiti, o vale anche per prodotti infiniti?
Vale anche per i prodotti infiniti, ma per la parte interna invece solo per quelli finiti.
"otta96":
Vale anche per i prodotti infiniti, ma per la parte interna invece solo per quelli finiti.
Perfetto, grazie!
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