$n$-forma differenziale mai nulla $=>$ $\partial$-varietà orientabile
Ciao, amici! Ho passato tutto il giorno di ieri e la mattina di oggi a cercare di capire una dimostrazione, cercando approfondimenti su Internet ecc., ma non ne ricavo nulla.
Premetto che mi è chiaro che, dato un diffeomorfismo $f:U\to V$ con \(U,V\subset\mathbb{R}^{n}_{+}\), chiamata \(f^{\ast}\omega\) la $n$-forma immagine inversa in $U$ di una $n$-forma differenziale $\omega$, si ha che \(f^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=\det(J_f)\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) dove \(\det(J_f)\) è lo jacobiano di $f$.
Il mio testo di geometria, E. Sernesi, Geometria II, p. 357, per dimostrare il fatto che se una \(\partial\)-varietà differenziabile $X$ di dimensione $n$ possiede una $n$-forma differenziale differenziabile $\omega$ ovunque non nulla allora $X$ è orientabile, utilizza un atlante \(\{(U_{\lambda},\varphi_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}\) e scrive che
"per $\lambda\in\Lambda$ si ha in $U_{\lambda}$:\[(\varphi_{\lambda})^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=F_{\lambda}\omega\]per un'opportuna funzione differenziabile $F_{\lambda}$ su $U_{\lambda}$ ovunque non nulla."
Fin qui tutto chiaro, direi, infatti essendo $\omega$ differenziabile e non nulla per ogni punto di $X$ si deve avere \((\varphi_{\lambda}^{-1})^{\ast}\omega=f_{\lambda}\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) con $f_{\lambda}$ differenziabile e ovunque non nulla. Direi che dovrebbe quindi essere $F_{\lambda}=1/{f_{\lambda}\circ\phi_{\lambda}}$ e fin qua ci sono. Poi il testo prosegue:
"A meno di sostituire la funzione coordinata $u_1$ con $-u_1$ possiamo supporre che $F_{\lambda}$ sia ovunque positiva per ogni $\lambda\in\Lambda$."
Credo di aver capito che si tratti di considerare \((\varphi_{\lambda})^{\ast}(-\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\) invece di \((\varphi_{\lambda})^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\): tutto OK, direi... Però non capisco il successivo passaggio:
"Ma allora per ogni \(\lambda,\mu\in\Lambda\) la funzione \(\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1}:\varphi(U_{\lambda}\cap U_{\mu})\to\mathbb{R}^n_{+}\) trasforma la forma di volume \(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) in un suo multiplo positivo. Dalla proposizione 42.3 [\(f^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=\det(J_f)\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) come ho scritto all'inizio, credo ponendo \(f=\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1}\)
], \(\det(J_{(\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1})})>0\) e quindi \(\{(U_{\lambda},\varphi_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}\) è un atlante orientato".
Non riesco proprio a vedere come la funzione \(\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1}\) trasformi \(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) in un suo multiplo che rimanga positivo... Qualcuno sarebbe tanto buono da darmi una mano?
$\infty$ grazie a chi sarà tanto buono da soccorrermi...
Premetto che mi è chiaro che, dato un diffeomorfismo $f:U\to V$ con \(U,V\subset\mathbb{R}^{n}_{+}\), chiamata \(f^{\ast}\omega\) la $n$-forma immagine inversa in $U$ di una $n$-forma differenziale $\omega$, si ha che \(f^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=\det(J_f)\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) dove \(\det(J_f)\) è lo jacobiano di $f$.
Il mio testo di geometria, E. Sernesi, Geometria II, p. 357, per dimostrare il fatto che se una \(\partial\)-varietà differenziabile $X$ di dimensione $n$ possiede una $n$-forma differenziale differenziabile $\omega$ ovunque non nulla allora $X$ è orientabile, utilizza un atlante \(\{(U_{\lambda},\varphi_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}\) e scrive che
"per $\lambda\in\Lambda$ si ha in $U_{\lambda}$:\[(\varphi_{\lambda})^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=F_{\lambda}\omega\]per un'opportuna funzione differenziabile $F_{\lambda}$ su $U_{\lambda}$ ovunque non nulla."
Fin qui tutto chiaro, direi, infatti essendo $\omega$ differenziabile e non nulla per ogni punto di $X$ si deve avere \((\varphi_{\lambda}^{-1})^{\ast}\omega=f_{\lambda}\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) con $f_{\lambda}$ differenziabile e ovunque non nulla. Direi che dovrebbe quindi essere $F_{\lambda}=1/{f_{\lambda}\circ\phi_{\lambda}}$ e fin qua ci sono. Poi il testo prosegue:
"A meno di sostituire la funzione coordinata $u_1$ con $-u_1$ possiamo supporre che $F_{\lambda}$ sia ovunque positiva per ogni $\lambda\in\Lambda$."
Credo di aver capito che si tratti di considerare \((\varphi_{\lambda})^{\ast}(-\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\) invece di \((\varphi_{\lambda})^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\): tutto OK, direi... Però non capisco il successivo passaggio:
"Ma allora per ogni \(\lambda,\mu\in\Lambda\) la funzione \(\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1}:\varphi(U_{\lambda}\cap U_{\mu})\to\mathbb{R}^n_{+}\) trasforma la forma di volume \(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) in un suo multiplo positivo. Dalla proposizione 42.3 [\(f^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=\det(J_f)\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) come ho scritto all'inizio, credo ponendo \(f=\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1}\)
], \(\det(J_{(\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1})})>0\) e quindi \(\{(U_{\lambda},\varphi_{\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}\) è un atlante orientato".Non riesco proprio a vedere come la funzione \(\varphi_{\mu}\circ\varphi_{\lambda}^{-1}\) trasformi \(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) in un suo multiplo che rimanga positivo... Qualcuno sarebbe tanto buono da darmi una mano?
$\infty$ grazie a chi sarà tanto buono da soccorrermi...
Risposte
Io credo dovresti seriamente cambiare libro di studio.. Sei quasi riuscito a mettermi confusione. Se vuoi capirci qualcosa dovresti iniziare ad usare lettere diverse per le coordinate locali in diversi sistemi di riferimento. Se inizi ad usare le stesse notazioni per tutto farai solo una incredibile confusione.
L'idea principale è che il morfismo indotto sulle $n$-forme dal passaggio da un sistema di coordinate ad un altro corrisponde alla moltiplicazione per una qualche funzione differenziabile. In particolare, questa funzione è lo jacobiano della tua trasformazione. Il tuo obiettivo è quello di dimostrare che questo jacobiano è ovunque positivo. Per farlo dimostri per prima cosa che la tua $n$-forma è localmente definita da qualcosa del tipo \(F_\lambda\,(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\) con \(F_\lambda > 0\). A questo punto consideri i due sistemi di coordinate e osservi che il tuo jacobiano dovrà assumere necessariamente la forma \( F_\mu / F_\lambda \). Siccome entrambe le funzioni sono non nulle e maggiori di zero, anche lo jacobiano dovrà esserlo.
L'idea principale è che il morfismo indotto sulle $n$-forme dal passaggio da un sistema di coordinate ad un altro corrisponde alla moltiplicazione per una qualche funzione differenziabile. In particolare, questa funzione è lo jacobiano della tua trasformazione. Il tuo obiettivo è quello di dimostrare che questo jacobiano è ovunque positivo. Per farlo dimostri per prima cosa che la tua $n$-forma è localmente definita da qualcosa del tipo \(F_\lambda\,(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\) con \(F_\lambda > 0\). A questo punto consideri i due sistemi di coordinate e osservi che il tuo jacobiano dovrà assumere necessariamente la forma \( F_\mu / F_\lambda \). Siccome entrambe le funzioni sono non nulle e maggiori di zero, anche lo jacobiano dovrà esserlo.
"apatriarca":Grazie per il consiglio!!! Sembra un'opinione diffusa in questo forum
Io credo dovresti seriamente cambiare libro di studio..
...In ogni caso sono al terzultimo paragrafo e per finirlo tirerò un bel respiro...
"apatriarca":
Se vuoi capirci qualcosa dovresti iniziare ad usare lettere diverse per le coordinate locali in diversi sistemi di riferimento. Se inizi ad usare le stesse notazioni per tutto farai solo una incredibile confusione.
Hai proprio ragione, in generale, infatti una cosa che ho trovato molto migliore nel primo volume del Sernesi è una notazione precisa ed inequivocabile, mentre vedo che, nei capitoli di geometria differenziale, ma anche un po' nel capitoletto di introduzione alla topologia algebrica, il secondo volume usa spesso disinvoltamente anche nella stessa formula notazioni uguali riferite ai vettori e alle loro coordinate come vettori di \(\mathbb{R}^n\), per esempio: cosa che non è un grosso ostacolo alla comprensione, anche perché l'autore fa notare più volte l'identificazione di spazi tangenti con \(\mathbb{R}^n\), ma personalmente preferisco una notazione più esplicita ed inequivocabile anche se meno stringata, specialmente se a leggere si presume che siano studenti alle prime armi con concetti che stanno apprendendo.
Qui però direi che non si mischino notazioni, nel senso che i \(\text{d}u_i\) direi che siano i differenziali delle funzioni coordinate in $U$ e basta...
Intendo che $\omega$ è differenziabile, per la definizione per esempio data a p. 357 dal Sernesi, perché \((\varphi_{\lambda}^{-1})^{\ast}\omega=f_{\lambda}\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n\) con \(f_{\lambda}:\varphi_{\lambda}(U_{\lambda})\to\mathbb{R}^n\) differenziabile per ogni carta. Detto questo mi sembra di poter passare al nocciolo, al \(\ker\) mi viene da dire
, della questione."apatriarca":In effetti considerando quanto dice il Sernesi alla pagina dopo, la 358, alla [42.7] si ha anche che \[\varphi_{\lambda}^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)=(\det(J_{\varphi_{\lambda}\circ\varphi_{\mu}^{-1}})\circ\varphi_{\mu})\varphi_{\mu}^{\ast}(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\]e quindi, mantenendo la notazione $F_{\lambda}$ (e analogamente $F_{\mu}$) per la funzione così chiamata dal Sernesi, che -spero di non sbagliarmi, o è quello che sto facendo?- mi pare dovrebbe essere \(1/(f_{\lambda}\circ\varphi_{\lambda})\) dove $f_{\lambda}$ è quella che ho chiamato così io in questo messaggio qui sopra, direi che si abbia proprio\[F_{\lambda}\omega=(\det(J_{\varphi_{\lambda}\circ\varphi_{\mu}^{-1}})\circ\varphi_{\mu}) F_{\mu} \omega\]con \(F_{\mu}>0\) e quindi\[\det(J_{\varphi_{\lambda}\circ\varphi_{\mu}^{-1}})=\frac{F_{\lambda}}{F_{\mu}}>0\]
L'idea principale è che il morfismo indotto sulle $n$-forme dal passaggio da un sistema di coordinate ad un altro corrisponde alla moltiplicazione per una qualche funzione differenziabile. In particolare, questa funzione è lo jacobiano della tua trasformazione. Il tuo obiettivo è quello di dimostrare che questo jacobiano è ovunque positivo. Per farlo dimostri per prima cosa che la tua $n$-forma è localmente definita da qualcosa del tipo \(F_\lambda\,(\text{d}u_1\wedge...\wedge\text{d}u_n)\) con \(F_\lambda > 0\). A questo punto consideri i due sistemi di coordinate e osservi che il tuo jacobiano dovrà assumere necessariamente la forma \( F_\mu / F_\lambda \). Siccome entrambe le funzioni sono non nulle e maggiori di zero, anche lo jacobiano dovrà esserlo.
Ti sembra giusto, a te e ai visitatori di questo thread?
Grazie di cuore ancora!!!
To apatriarca [ot]Non so come tu sia riuscito a capire il primo post...
Casomai me lo spieghi[/ot] To DavideGenova
[ot] ...[/quote] Eccoti un elenco:
Casomai me lo spieghi
[/ot] To DavideGenova[ot]
"DavideGenova":Grazie per il consiglio!!! Sembra un'opinione diffusa in questo forum
[quote="apatriarca"]Io credo dovresti seriamente cambiare libro di studio..
...[/quote] Eccoti un elenco:[*:3o32u3rl] Spivak - Calculus on manifolds sinteticamente si può dire che è un testo che ti permette di passare da analisi II ai rudimenti della geometria differenziale;[/*:m:3o32u3rl]
[*:3o32u3rl] Spivak - A comprehensive introduction to differential geometry 5 volumi: un titolo cristallino;[/*:m:3o32u3rl]
[*:3o32u3rl] Lee - Introduction to smooth manifolds, un libro per i negati alla geometria differenziale;[/*:m:3o32u3rl]
[*:3o32u3rl] Warner - Foundations of differential geometry and Lie groups un ottimo testo, da leggere in secondo tempo;[/*:m:3o32u3rl]
[*:3o32u3rl] Chem, Chern & Lam - Lecture on differential geometry per chi è interessato a ulteriori sviluppi della geometria differenziale.[/*:m:3o32u3rl][/list:u:3o32u3rl][/ot]
@j18eos: non ho mai detto di aver capito il primo post 
, ricordavo la dimostrazione a memoria (a grandi linee)...
, ricordavo la dimostrazione a memoria (a grandi linee)...
Grazie di cuore ancora a tutti voi per l'aiuto e i consigli...!!!
Sapere che il testo che sto seguendo è considerato non troppo efficace dal punto di vista didattico da molte persone anche evidentemente capaci mi fa sentire un pochino meno inetto...
Sapere che il testo che sto seguendo è considerato non troppo efficace dal punto di vista didattico da molte persone anche evidentemente capaci mi fa sentire un pochino meno inetto...
de Rham e passa la paura.
@KB Magari direttamente Riemann, coi suoi lavori originali 
@Davide E manco cambi libro, sei de coccio
@Davide E manco cambi libro, sei de coccio
"j18eos":
E manco cambi libro, sei de coccio
Beh, sono al terzultimo paragrafo: mi sto picchiando con delle forme di volume e poi mi mancano due paragrafi... Ormai è una sfida con me stesso di tipo sportivo...
"DavideGenova":
:lol: Beh, sono al terzultimo paragrafo: mi sto picchiando con delle forme di volume e poi mi mancano due paragrafi... Ormai è una sfida con me stesso di tipo sportivo...
Più che altro - ma non lo dico con cinismo eh - rischi di farti davvero del male, con tutta questa notazione barocca.
Adesso finisci con il Sernesi e pigliati qualcos'altro, come ti hanno consigliato sopra
Grazie anche a te, Delirium!!!
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