N-esima potenza di una matrice-prodotto di N matrici uguali
ciao a tutti
sto studiando un amplificatore distribuito per mettere in cascata vari stadi vorrei trovare l'ennesima potenza di una matrice 2x2, cioè, data la mia matrice 2x2 che chiamo A, vorrei trovare $A^N$. c'è una formula chiusa o una tecnica per derivare questo risultato?
grazie mille
matteo
sto studiando un amplificatore distribuito per mettere in cascata vari stadi vorrei trovare l'ennesima potenza di una matrice 2x2, cioè, data la mia matrice 2x2 che chiamo A, vorrei trovare $A^N$. c'è una formula chiusa o una tecnica per derivare questo risultato?
grazie mille
matteo
Risposte
Non conosco metodi più diretti (non ho sottomano il libro di analisi numerica per cercarli) ma una volta che hai definito il prodotto di matrici quadrate puoi usare un metodo per calcolare la potenza velocemente...
Ad esempio questi:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring
http://en.wikipedia.org/wiki/Addition-c ... nentiation
Spesso questi metodi forniscono il numero minimo di moltiplicazioni necessari per calcolare l'esponenziale.
Probabilmente nel caso particolare di matrici si può ottimizzare usando anche altri metodi.
Ad esempio questi:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring
http://en.wikipedia.org/wiki/Addition-c ... nentiation
Spesso questi metodi forniscono il numero minimo di moltiplicazioni necessari per calcolare l'esponenziale.
Probabilmente nel caso particolare di matrici si può ottimizzare usando anche altri metodi.
non ho capito tanto bene come applicheresti questi algoritmi per arrivare alla matrice finale ...ma tanto per capire, questi metodi mi permettono di ottenere una matrice analitica finale i cui 4 termini dipendono dai 4 termini della matrice di partenza e da N?
Scusate l'intromissione. Vorrei solo postare un risultato di cui sono a conoscenza, anche se so benissimo che questo non ha validità generale: si può dimostrare facilmente per induzione che $((1,1),(1,0))^n=((F_(n-1), F_n),(F_n, F_(n-1)))$, dove $F_n$ è l'n-esimo numero di Fibonacci. Anche se questo è solo un caso particolare evidenzia comunque la difficoltà nel trovare una formula chiusa del genere. Sembra essere legata alle formule ricorsive... magari provando a svolgere il prodotto per i primi esponenti si può arrivare da qualche parte...
X maurer: ero a conoscenza di quella formula.
x Bags: Quello sono metodi per calcolare velocemente la potenza di un numero (o di qualsiasi oggetto matematica su cui è definita una operazione) con il minor numero di moltiplicazioni. Sono algoritmi generali. Se definisci la moltiplicazione puoi scrivere un programma che lo calcoli.
Faccio un esempio: Devi calcolare la $A^35$ dove A è una matrice.
Ho che $35 = 100011$. Quindi partiamo da destra e usiamo l'algoritmo più semplice.
$X = A$
$Y = A^2$
$X = X*Y = A*A^2 = A^{3}$
$Y = A^4$
$Y = A^8$
$Y = A^16$
$Y = A^32$
$X = X*Y = A^3*A^32 = A^{35}$
Quindi te la cavi con 7 moltiplicazioni matriciali al posto di 35 (è possibile che l'addition-chain richieda meno operazioni ma è più complesso da implementare).
Un metodo efficiente per calcolare la potenza nel caso di matrici diagonalizzabili può essere il seguente:
$A = P^{-1}DP$ dove $D$ è una matrice diagonale e $P$ una matrice invertibile.
Allora $A^N = (P^{-1}DP)^N = P^{-1}D^NP$.
L'esponenziale di una matrice diagonale è piuttosto semplice nel senso che basta elevare alla potenza desiderata ogni elemento della diagonale.
È possibile che esista qualcosa di simile anche per le matrici nella forma di Jordan, ma ci dovrei pensare.
x Bags: Quello sono metodi per calcolare velocemente la potenza di un numero (o di qualsiasi oggetto matematica su cui è definita una operazione) con il minor numero di moltiplicazioni. Sono algoritmi generali. Se definisci la moltiplicazione puoi scrivere un programma che lo calcoli.
Faccio un esempio: Devi calcolare la $A^35$ dove A è una matrice.
Ho che $35 = 100011$. Quindi partiamo da destra e usiamo l'algoritmo più semplice.
$X = A$
$Y = A^2$
$X = X*Y = A*A^2 = A^{3}$
$Y = A^4$
$Y = A^8$
$Y = A^16$
$Y = A^32$
$X = X*Y = A^3*A^32 = A^{35}$
Quindi te la cavi con 7 moltiplicazioni matriciali al posto di 35 (è possibile che l'addition-chain richieda meno operazioni ma è più complesso da implementare).
Un metodo efficiente per calcolare la potenza nel caso di matrici diagonalizzabili può essere il seguente:
$A = P^{-1}DP$ dove $D$ è una matrice diagonale e $P$ una matrice invertibile.
Allora $A^N = (P^{-1}DP)^N = P^{-1}D^NP$.
L'esponenziale di una matrice diagonale è piuttosto semplice nel senso che basta elevare alla potenza desiderata ogni elemento della diagonale.
È possibile che esista qualcosa di simile anche per le matrici nella forma di Jordan, ma ci dovrei pensare.
grazie ad entrambi per le interessanti e celeri risposte! imparo sempre un sacco 
mi sembra che le proprietà della potenza di matrici diagonalizzabili facciano al caso mio, ora quello che mi resta è diagonalizzare la matrice che ho. ora mi metto a leggere come fare, la procedura di diagonalizzazione da' sempre un risultato? la mia matrice è 2x2 e piena di termini, nel senso che non ci sono zeri
mi sembra che le proprietà della potenza di matrici diagonalizzabili facciano al caso mio, ora quello che mi resta è diagonalizzare la matrice che ho. ora mi metto a leggere come fare, la procedura di diagonalizzazione da' sempre un risultato? la mia matrice è 2x2 e piena di termini, nel senso che non ci sono zeri
"maurer":
Scusate l'intromissione. Vorrei solo postare un risultato di cui sono a conoscenza, anche se so benissimo che questo non ha validità generale: si può dimostrare facilmente per induzione che $((1,1),(1,0))^n=((F_(n-1), F_n),(F_n, F_(n-1)))$, dove $F_n$ è l'n-esimo numero di Fibonacci. Anche se questo è solo un caso particolare evidenzia comunque la difficoltà nel trovare una formula chiusa del genere. Sembra essere legata alle formule ricorsive... magari provando a svolgere il prodotto per i primi esponenti si può arrivare da qualche parte...
Si è legata alle formule ricorsive della forma $A_n = aA_{n-1} + bA_{n-2}$ ma ora non ricordo bene come cambiare la matrice per ricavare questa serie invece che quella di fibonacci.
X Bags: no, la diagonalizzazione non è sempre possibile, dipende dal polinomio caratteristico e dallo spazio degli autovalori.
Tanto per passare il tempo, Maple 12 sputa fuori il seguente calcolo per la potenza $n$-ima della matrice
$A=((a,b),(c,d))$
metto le singole componenti se non viene una cosa enorme ed abnorme
$a_{11}=\frac{1}{2^{n+1}K}[(d+a-K)^n(K-a+d)+(d+a+K)^n(K+a-d)],$
$a_{12}=\frac{b}{2^n K}[(d+a+K)^n-(d+a-K)^n],$
$a_{21}=\frac{c}{2^n K}[(d+a+K)^n-(d+a-K)^n],$
$a_{22}=\frac{1}{2^{n+1}K}[(d+a-K)^n(K+a-d)+(d+a+K)^n(K-a+d)],$
dove $K=\sqrt{(d-a)^2+4bc}$.
$A=((a,b),(c,d))$
metto le singole componenti se non viene una cosa enorme ed abnorme
$a_{11}=\frac{1}{2^{n+1}K}[(d+a-K)^n(K-a+d)+(d+a+K)^n(K+a-d)],$
$a_{12}=\frac{b}{2^n K}[(d+a+K)^n-(d+a-K)^n],$
$a_{21}=\frac{c}{2^n K}[(d+a+K)^n-(d+a-K)^n],$
$a_{22}=\frac{1}{2^{n+1}K}[(d+a-K)^n(K+a-d)+(d+a+K)^n(K-a+d)],$
dove $K=\sqrt{(d-a)^2+4bc}$.
grazie mille ciampax, proprio quello che cercavo, poi nel mio caso d e a sono zero quindi mi va di lusso! 
"bags":
grazie mille ciampax, proprio quello che cercavo, poi nel mio caso d e a sono zero quindi mi va di lusso!
Potevi dirlo prima che era in quella forma...
Il quadrato di quella matrice è diagonale... E una diagonale piuttosto semplice da calcolare...
$((0,a),(b,0))*((0,a),(b,0)) = ((ab,0),(0,ab))$
Quindi ha una potenza altrettanto semplice...
$((0,a),(b,0))^{2N} = ((a^Nb^N,0),(0,a^Nb^N))$
$((0,a),(b,0))^{2N+1} = ((a^Nb^N,0),(0,a^Nb^N))*((0,a),(b,0)) = ((0,a^{N+1}b^N),(a^Nb^{N+1},0))$
@ vict85
tranquillo vict85, non avevo ancora calcolato la matrice quando ho fatto la domanda! grazie comunque
tranquillo vict85, non avevo ancora calcolato la matrice quando ho fatto la domanda! grazie comunque
"bags":
@ vict85
tranquillo vict85, non avevo ancora calcolato la matrice quando ho fatto la domanda! grazie comunque
Io ero tranquillo... Era solo che come hai visto alcuni casi particolari permettono di esprimere formule molto più semplici...
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