Mosse di Gauss.
Sia dato un sistema di equazioni lineari.
Come si fa a dimostrare che "le mosse di Gauss" non modificano lo spazio delle soluzioni del sistema?
Come si fa a dimostrare che "le mosse di Gauss" non modificano lo spazio delle soluzioni del sistema?
Risposte
Lo puoi fare in almeno due modi.
1) Scrivi il sistema in forma esplicita ${(a_{1, 1}x_1+...+a_{1, m}x_m=b_1), (vdots), (a_{n,1}x_1+...+a_{n,m}x_m=b_n):}$. Ora applica una mossa di Gauss: ti accorgerai che il sistema viene trasformato in un altro ad esso equivalente.
2) Scrivi il sistema mediante matrici ${Ax=b:}$. Ogni mossa di Gauss corrisponde al prodotto a sinistra per una opportuna matrice quadrata, quindi trasforma il sistema in ${GAx=Gb:}$ (indico con $G$ la matrice elementare corrispondente alla tua mossa di Gauss). Mostra che $G$ è invertibile ed hai finito.
Sono sicuro che sul Sernesi Geometria 1 trovi il primo approccio, sul pdf di M.Cailotto trovi il secondo. Forse sul pdf trovi anche il primo, però.
1) Scrivi il sistema in forma esplicita ${(a_{1, 1}x_1+...+a_{1, m}x_m=b_1), (vdots), (a_{n,1}x_1+...+a_{n,m}x_m=b_n):}$. Ora applica una mossa di Gauss: ti accorgerai che il sistema viene trasformato in un altro ad esso equivalente.
2) Scrivi il sistema mediante matrici ${Ax=b:}$. Ogni mossa di Gauss corrisponde al prodotto a sinistra per una opportuna matrice quadrata, quindi trasforma il sistema in ${GAx=Gb:}$ (indico con $G$ la matrice elementare corrispondente alla tua mossa di Gauss). Mostra che $G$ è invertibile ed hai finito.
Sono sicuro che sul Sernesi Geometria 1 trovi il primo approccio, sul pdf di M.Cailotto trovi il secondo. Forse sul pdf trovi anche il primo, però.
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