Monoidi e matrici
Si consideri il monoide $(M_2(ZZ_2), ·)$ delle matrici quadrate di ordine 2 su $ZZ_2$ con il prodotto righe per colonne.
(1) Quanti sono gli elementi di $M_2(ZZ_2)$?
Essendo $ZZ_2={[0]_2,[1]_2}$ ed essendo le matrici quadrate di ordine due formate da quattro valori, gli elementi di $M_2(ZZ_2)$ sono determinati dalle disposizioni con ripetizione di ordine 2 in classe 4, quindi $D'_{2,4}=16$.
(2) Quanti e quali sono gli elementi simmetrizzabili del monoide $(M_2(ZZ_2), ·)$?
Sono tutte le matrici non singolari (6 matrici), quindi le matrici $((1,0),(0,1))$ $((0,1),(1,0))$ $((0,1),(1,1))$ $((1,1),(1,0))$ $((1,0),(1,1))$ $((1,1),(0,1))$
(3) Si dimostri che la relazione ~ definita ponendo $A~B hArr |A|=|B|$, dove $|A|$ denota il determinante della matrice A, è una relazione di equivalenza in $M_2(ZZ_2)$.
Per essere ~ una relazione d'equivalenza, ~ deve essere contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva.
~ è riflessiva $iff A~A, AA A in M_2(ZZ_2)$. Quindi $A~A hArr |A|=|A|, AA A in M_2(ZZ_2)$ ovvio!
~ è simmetrica $hArr (A~B) rArr (B~A), AA A,B in M_2(ZZ_2)$. Quindi $|A|=|B| rArr |B|=|A|, AA A,B in M_2(ZZ_2)$
~ è transitiva $hArr (A~B)$ e $(B~C) rArr (A~C), AA A,B,C in M_2(ZZ_2)$. Quindi $|A|=|B|$ e $|B|=|C| rArr |A|=|C|, AA A,B,C in M_2(ZZ_2)$
Quindi ~ è una relazione d'equivalenza in $M_2(ZZ_2)$.
(4) Quanti e quali sono gli elementi dell’insieme quoziente $M_2(ZZ_2)_{/~}$?
Di questa non sono sicuro! $M_2(ZZ_2)_{/~}={[0]_~,[I_2]_~}$
(5) Si dimostri che la relazione R è compatibile con il prodotto righe per colonne.
$AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), A~B$ e $C~D rArr A*C~B*D$
Quindi si ha: $AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |A*C|=|B*D|$.
Il teorema di Binet afferma che: se $A,B in M_n(K)$ allora $|AB|=|A|*|B|$.
Quindi posso scrivere: $AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |A|*|C|=|B|*|D|$. Essendo $|A|=|B|$ e $|C|=|D|$, posso scrivere:
$AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |B|*|C|=|B|*|C|$.
Ancora per Binet posso scrivere: $AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |BC|=|BC|$. E ho quindi dimostrato che la relazione R è compatibile con il prodotto righe per colonne.
Volevo sapere se ho fatto tutto bene. Grazie a chi mi dedicherà un po' del suo tempo.
Ciao!
(1) Quanti sono gli elementi di $M_2(ZZ_2)$?
Essendo $ZZ_2={[0]_2,[1]_2}$ ed essendo le matrici quadrate di ordine due formate da quattro valori, gli elementi di $M_2(ZZ_2)$ sono determinati dalle disposizioni con ripetizione di ordine 2 in classe 4, quindi $D'_{2,4}=16$.
(2) Quanti e quali sono gli elementi simmetrizzabili del monoide $(M_2(ZZ_2), ·)$?
Sono tutte le matrici non singolari (6 matrici), quindi le matrici $((1,0),(0,1))$ $((0,1),(1,0))$ $((0,1),(1,1))$ $((1,1),(1,0))$ $((1,0),(1,1))$ $((1,1),(0,1))$
(3) Si dimostri che la relazione ~ definita ponendo $A~B hArr |A|=|B|$, dove $|A|$ denota il determinante della matrice A, è una relazione di equivalenza in $M_2(ZZ_2)$.
Per essere ~ una relazione d'equivalenza, ~ deve essere contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva.
~ è riflessiva $iff A~A, AA A in M_2(ZZ_2)$. Quindi $A~A hArr |A|=|A|, AA A in M_2(ZZ_2)$ ovvio!
~ è simmetrica $hArr (A~B) rArr (B~A), AA A,B in M_2(ZZ_2)$. Quindi $|A|=|B| rArr |B|=|A|, AA A,B in M_2(ZZ_2)$
~ è transitiva $hArr (A~B)$ e $(B~C) rArr (A~C), AA A,B,C in M_2(ZZ_2)$. Quindi $|A|=|B|$ e $|B|=|C| rArr |A|=|C|, AA A,B,C in M_2(ZZ_2)$
Quindi ~ è una relazione d'equivalenza in $M_2(ZZ_2)$.
(4) Quanti e quali sono gli elementi dell’insieme quoziente $M_2(ZZ_2)_{/~}$?
Di questa non sono sicuro! $M_2(ZZ_2)_{/~}={[0]_~,[I_2]_~}$
(5) Si dimostri che la relazione R è compatibile con il prodotto righe per colonne.
$AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), A~B$ e $C~D rArr A*C~B*D$
Quindi si ha: $AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |A*C|=|B*D|$.
Il teorema di Binet afferma che: se $A,B in M_n(K)$ allora $|AB|=|A|*|B|$.
Quindi posso scrivere: $AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |A|*|C|=|B|*|D|$. Essendo $|A|=|B|$ e $|C|=|D|$, posso scrivere:
$AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |B|*|C|=|B|*|C|$.
Ancora per Binet posso scrivere: $AA A,B,C,D in M_2(ZZ_2), |A|=|B|$ e $|C|=|D| rArr |BC|=|BC|$. E ho quindi dimostrato che la relazione R è compatibile con il prodotto righe per colonne.
Volevo sapere se ho fatto tutto bene. Grazie a chi mi dedicherà un po' del suo tempo.
Ciao!
Risposte
L'esercizio e' completo e corretto, anche la parte piu' incerta e' corretta, chiaramente $1$ denota la matrice identica.
Ho riscritto meglio. Grazie mille Luca.
Ciao!
Ciao!
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